最新重庆中考数学25题专题及答案.docx
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最新重庆中考数学25题专题及答案
重庆中考25题专题训练（及答案）
1、（12分）如图,已知抛物线
与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
解：
（1）∵二次函数
的图像经过点A（2，0）C（0,－1）
∴
解得：
b=－
c=－1-------------------2分
∴二次函数的解析式为
--------3分
（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）
∴OD=m∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得，
--------------4分
∴
∴DE=
-----------------------------------5分
∴△CDE的面积=
×
×m
=
=
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分
（3）存在由
（1）知：
二次函数的解析式为
设y=0则
解得：
x1=2x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）
设直线BC的解析式为：
y=kx＋b
∴
解得：
k=-1b=-1
∴直线BC的解析式为:
y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1
由勾股定理得：
AC=
∵点B（－1,0）点C（0，－1）
∴OB=OC∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=
时，
设P（k,－k－1）
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中
k2+k2=
解得k1=
，k2=－
∴P1（
，－
）P2（－
，
）---10分
②以A为顶点，即AC=AP=
设P（k,－k－1）
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2
（2－k）2+（－k－1）2=5
解得：
k1=1,k2=0（舍）
∴P3（1,－2）----------------------------------11分
③以P为顶点，PC=AP设P（k,－k－1）
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L（k,0）
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=
k
∴AL=∣k-2∣,PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中
（
k）2=（k－2）2＋（k＋1）2
解得：
k=
∴P4（
－
）------------------------12分
2、（本题满分12分）已知抛物线
交x轴于A（1,0）、B（3,0）两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．
求证：
四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的
？
若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、
（1）求出：
，
，抛物线的对称轴为：
x=2
（2）抛物线的解析式为
，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵
OBC是等腰直角三角形，
DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE=∠OBD=
∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形………………5分
在
和
中，
OD=
，BE=
∴OD=BE
∴四边形ODBE是等腰梯形………………7分
（3）存在，………………8分
由题意得：
………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：
=
∴
当y=1时，即
，∴
，
，
∴Q点坐标为（2+
，1）或（2-
，1）………………11分
当y=-1时，即
，∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q
（2+
，1），Q
（2-
，1），Q
（2，-1）
使得
=
．………………12分
3、（11分）如图，已知抛物线
经过点
，抛物线的顶点为
，过
作射线
．过顶点
平行于
轴的直线交射线
于点
，
在
轴正半轴上，连结
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点
从点
出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线
运动，设点
运动的时间为
．问当
为何值时，四边形
分别为平行四边形？
直角梯形？
等腰梯形？
P
D
C
M
y
（3）若
，动点
和动点
分别从点
和点
同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿
和
运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为
，连接
，当
为何值时，四边形
的面积最小？
并求出最小值及此时
的长．
解：
（1）
抛物线
经过点
，
1分
二次函数的解析式为：
3分
（2）
为抛物线的顶点
过
作
于
，则
，
4分
当
时，四边形
是平行四边形
5分
当
时，四边形
是直角梯形
过
作
于
，
则
（如果没求出
可由
求
）
6分
当
时，四边形
是等腰梯形
综上所述：
当
、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分
（3）由
（2）及已知，
是等边三角形
则
过
作
于
，则
8分
=
9分
当
时，
的面积最小值为
10分
此时
11分
4．（本小题满分13分）
如图，抛物线经过
三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作
轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与
相似？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得
的面积最大，求出点D的坐标．
解：
（1）
该抛物线过点
，
可设该抛物线的解析式为
．
将
，
代入，
得
解得
此抛物线的解析式为
．（3分）
（2）存在．（4分）
如图，设
点的横坐标为
，
则
点的纵坐标为
，
当
时，
，
．
又
，
①当
时，
，
即
．
解得
（舍去），
．（6分）
②当
时，
，即
．
解得
，
（均不合题意，舍去）
当
时，
．（7分）
类似地可求出当
时，
．（8分）
当
时，
．
综上所述，符合条件的点
为
或
或
．（9分）
（3）如图，设
点的横坐标为
，则
点的纵坐标为
．
过
作
轴的平行线交
于
．
由题意可求得直线
的解析式为
．（10分）
点的坐标为
．
．（11分）
．
当
时，
面积最大．
．
5.如图，二次函数的图象经过点D（0，
），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？
如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
⑴设二次函数的解析式为：
y=a（x-h）2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，
）
∴y=a（x-4）2+k
………………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k………………②
由①②解得a=
，k=
∴二次函数的解析式为：
y=
（x-4）2－
⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，
）
⑶由⑴知点C（4，
），
又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=
，
∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o
∴QN=3
，BN=3，ON=10，
此时点Q（10，
），
如果AB=AQ，由对称性知Q（-2，
）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，
），
经检验，点（10，
）与（-2，
）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，
）或（-2，
）或（4，
）．
6、（12分）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？
为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？
若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）设该抛物线的解析式为
，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知
.
即抛物线的解析式为
．………………………1分
把A（－1，0）、B（3，0）代入,得
解得
.
∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．……………………………………………3分
∴顶点D的坐标为
.……………………………………………………4分
说明：
只要学生求对
，不写“抛物线的解析式为y=x2－2x－3”不扣分.
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.……………………………5分
理由如下：
过点D分别作
轴、
轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴
.…………………………6分
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴
.…………………………7分
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴
.…………………………8分
∴
，故△BCD为直角三角形.…………………………9分
（3）连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．………10分
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为
．…………………………………………11分
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．…………………………………………12分
∴符合条件的点有三个：
O（0，0），
，P2（9，0）.
7、如图，抛物线
与
轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥
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