届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学理试题解析版Word下载.docx
《届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学理试题解析版Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学理试题解析版Word下载.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
【解析】
所以
选A.
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：
“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？
”意思是：
“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；
在细的一端截下1尺，重2斤；
问依次每一尺各重多少斤？
”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）
A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤
【解析】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重斤.
6．如图所示，点从点处出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（）
由于为等边三角形的中心，故到边的距离为高的，即，故当在上运动时，面积为为一次函数，排除选项.当在上运动时，以为底，高为，故面积为，也是一个一次函数，故选A.
【考点】函数图象与性质．
7．已知函数是上的偶函数，当，时，都有，设，，，则（）
【解析】由，时，都有，得在上单调递减，
选C.
8．已知函数与，则它们所有交点的横坐标之和为（）
【解析】作函数图像，由图可知所有交点的横坐标之和为，选C.
点睛：
（1）图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
（2）对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f（a）·
f（b）<
0，还需考虑函数的单调性．
9．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则这个三角形必含有（）
A.的内角B.的内角C.的内角D.的内角
【解析】由得
选B.
10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项的和为（）
【解析】因为函数的图象关于对称，所以函数的图象关于对称，因为，所以，因此的前项的和为，选D.
1．在解决等差数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am+an＝ap+aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．等差数列的性质可以分为三类：
一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
11．已知点是圆上的动点，点是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最小值为（）
A.4B.5C.6D.7
【解析】由题设是圆的直径，则，故时，，应选答案B。
解答本题的突破口是先由题设是圆的直径，进而得到，从而借助向量的几何运算将，然后运用向量的数量积公式得到目标函数，最后求出其最小值。
12．函数（），若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（）
A.B.
C.D.
【解析】由得,因为,作函数图像如图
由图得，
选A.
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
二、填空题
13．已知向量，，，且，则等于__________．
【答案】
【解析】由题意得
14．数列满足（，），是的前项和，若，则__________．
【解析】设，由得：
，，，，故，故答案为4.
15．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，若，则的最小值为__________．
由，得，所以
因此，即的最小值为
16．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围__________．
【解析】令，
当时单调递增，满足题意；
当时在单调递增，所以；
当时在非负，所以；
综上实数的取值范围为
已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：
（1）若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；
（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；
（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，且，已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
（1），.
（2）
（1）先根据向量数量积得，即得.再根据余弦定理得.解方程组得和的值；
（2）由正弦定理得，再由平方关系以及两角差余弦公式得的值.
试题解析：
（1）由，得，又，所以.
由余弦定理，得，又，所以.
解得，或，.因，所以，.
（2）在中，.
由正弦定理，得.
因，所以为锐角，因此.
于是.
18．已知（）的最小值为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求的取值范围.
（1）
（2）
（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得最小值，解出m，最后根据正弦函数性质求单调区间
（2）先根据正弦定理将条件化为角的关系式，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得，可得C角范围，再根据正弦函数性质求取值范围
解：
（Ⅰ）∵
，其中，
∴由其最小值为，可得：
，解得：
，
∵，可得：
，，，
∴，令，，解得：
，.
∴函数的单调递增区间为：
，
（Ⅱ）∵，即，
∴由正弦定理可得，可得：
∵为三角形内角，，
∴，可得，
∴，
∴.
19．等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为（），且，.
（1）求与；
（2）求数列的前项和.
（1），
（2）
（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解得，，再代入等差与等比数列通项公式即得结果
（2）先根据等差数列求和公式得，由于，
再利用裂项相消法求数列的前项和.
（1）等差数列的公差为，
，，∴，∴.
整理得：
或（舍去），
∴，，∴
（2）数列前项和为，，
数列的前项和
裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.
20．已知等差数列的前项和为，若，，（且）.
（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
（1）5;
（2）
（1）结合已知两个条件，采用方程思想，求解与公差d，从而利用等差数列的通项公式求解m；
（2）借助第一问结论，化简求得，明确所求数列的通项公式，采用错位相减法求和.
（Ⅰ）由已知得，
且，
设数列的公差为，则有，
∴
由，得，即，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴
∴，得．
设数列的前项和为
∴①
②
－②，得
本题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式、错位相减法求数列的和，以数列为
载体，通过利用错位相减法求和，考查逻辑思维能力、运算能力．形如的数列，其中
是等差数列，是等比数列，则可在求和等式两边同乘的公比，然后两等式错位
相减，即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的
前项和可利用．
21．设，函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点，，求证：
（1）
（2）（3）见解析
（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程
（2）由于无零点，且函数恒有负值，所以函数最大值必小于零，根据导数可得函数最值，即得实数的取值范围；
也可先变量分离，根据两函数交点情况求实数的取值范围（3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点条件可得，令，构造函数，，利用导数可得单调性，即得，逆推可得结论
（1）函数的定义域为，，
当时，，则切线方程为，
即.
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
∵，，
∴，函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于无零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是.
（3）要证，两边同时取自然对数得.
由得，得.
所以原命题等价于证明.
因为，故只需证，即.
令，则，设（），只需证.
而，故在单调递增，所以.
综上得.
22．已知函数.
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，有恒成立，求的取值范围.
（1），．
（2）当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．（3）
（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值
（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论：
时，，时，，时，先负后正，最后根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由
（2）得，即，整理化简得，解得的取值范围.
（Ⅰ）当时，，∴.
∵的定义域为，∴由得.
∴在区间上的最值只可能在，，取到，而，，，
∴，
（Ⅱ），.
①当，即时，，∴在上单调递减；
②当时，，∴在上单调递增；
③当时，由得，∴或（舍去）
∴在单调递增，在上单调递减；
综上，当，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，
即原不等式等价于即整理得
∴，又∵，∴的取值范围为.
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；
也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
升级会员 