高教社杯天下大学生数学建模比赛B题参考答案文档格式.docx
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为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。
试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：
（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图，相关的数据信息见附件2。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。
对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。
（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。
如果有明显不合理，请给出解决方案。
如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。
二、模型假设及符号说明
2.1、模型假设
1、假设各服务台职能，警力配备足以处理辖区内正常事故。
2、假设不考虑人口密度对警察办案的具体影响。
3、假设突发事件只发生在路口节点。
4、假设警察出警的地点都是平台处，不考虑巡警的情况。
5、假设交巡警接到报警后立即出警，且不考虑路面交通状况。
6、假设嫌疑人逃跑速度与警车的速度相同。
2.2、符号说明
道路起点坐标
道路终点坐标
第
平台的坐标
条道路，起点到终点一步可达的距离
各个节点的最短路距离
分配矩阵
中间过渡矩阵
出口到平台的距离
案发率距离
增加节点矩阵
计数
每行中除了0以外的最小值
每行中除了0和mm的最小值
三、模型建立及求解
3.1、为了模型的建立与分析，先模拟出道路图
图1A区交通图
程序：
lp1003
图2全市交通图
shitu
3.2、问题1的模型建立及求解：
3.2.1、管辖范围的求解
此问要求我们利用数据及附图，将各路口节点划分给最适合的服务平台，并要求各服务台管辖的范围内有突发事件发生时，尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地（此时交巡警的行驶距离为3km），换算到比例图上，也就是30mm。
本题，不考虑其他因素，只注重唯一因素——距离。
所以，我们第一步用floyd算法求出各个节点之间的最短距离D。
、根据题中所给的各个节点的坐标，用matlab计算出任意两点之间的距离，得到92*92的邻接距离矩阵：
其中
分两种情况：
当第i个节点与第j个节点相邻时，
为两个节点的相邻距离。
不相邻时，
为一个充分大的数。
②、运用Floyd算法，求出任意92个节点到任意92个节点的最短距离，得到最短距离矩阵，根据问题需要，我们截取所得矩阵前20行，即任意20个服务平台间到任意72个节点（没有建立平台的节点）的最短距离矩阵
：
因为服务平台的编号为1到20，所以取D的前二十行，后七十二列为观察对象。
在观察对象中，取出每列的最小值，计入到原本为设为全0的
的矩阵A的相应的位置。
对于每一列而言，每列的最小值是最有可能小于3分钟的，如果最小值都不满足这个条件，那么对于这列对应的节点而言，就不存在三分钟可以到达的平台。
pingtai
③由此，最后每个节点都会归属于某个服务平台，用matlab编程得出结果并绘制了管辖区域图如表1
服务平台编号
管辖范围（节点编号）
管辖容量
1
1、67、68、69、71、73、74、75、76、78
10
2
2、39、40、43、44、70、72
7
3
3、54、55、65、66
5
4
4、57、60、62、63、64
6
5、49、50、51、52、53、56、58、59
9
6、47
7、30、32、48、61
8
8、33、46
9、31、34、35、45
10、26
11
11、27
12
12、25
13
13、22、23、24
14
14、21
15
15、28、29
16
16、36、37、38
17
17、41、42
18
18、80、81、82、83
19
19、77、79
20
20、84、85、86、87、88、89、90、91、92
表1服务平台管辖范围
3.2.2、调度方案的求解
本题，我们使用运筹学中的指派方法来解决。
如果发生重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全面封锁。
在全面封锁时，既需要使用最短的时间，还必须保证一个平台的警力只能封锁一个路口，这样就必然会多出7个平台。
先根据给出的数据，设立出指派问题的条件矩阵C。
C为
，其中前十三列是A区13个出口到二十个平台的最短路距离，剩余的七列用零补齐。
得到C之后，使用linprog算法，就得到我们需要的调度方案。
zhipai
根据前一问的解答我们可以得出任意服务平台
到任意出口
的最短距离
，引入0-1变量
据此我们建立关于服务平台调度的目标函数Z：
约束条件：
第一个约束表示要求每个服务台只能去1个或0个出口。
第二个约束表示每个出入路口有且仅有一个服务平台的警力支持。
综上，我们利用linprog编程得出了最优调度方案（程序见附件），结果见表2：
平台编号
出口编号
38
62
48
30
29
22
24
23
21
28
距离:
mm
39
3.5
5.8
104
82
77
32
47
表2出口平台调度方案
通过分析这些线路，我们知道线路最长的组合为8号平台到达29号节点，它所花的时间即为封锁路口的最终时间，且这个时间约为10分钟。
3.2.3、平台增加个数及位置的求解
本问要求在第1小问的前提下，根据服务平台的工作量不均衡及出警时间的不合理来增加服务平台的具体个数及位置，使整个交巡警服务平台系统趋于合理化。
在第一小问中，我们选择D每一列的最小值，把该节点划分给离他最近的平台管辖。
但这样的话，一方面会导致一部分的平台管辖的节点过多，其辖区内部的总案发率过高，而现实中，各平台辖区案发率应该相差不大。
另一方面，少量节点到每个平台的最短距离都大于30mm，即到任何平台的时间都超过3min，所以，我们就需要增设一些平台。
对于平台添加的原则是添加平台后使得所有节点都有平台可以在三分钟内到达。
首先，我们以距离出发，选择D前二十行中，其最小值大于30的列，把这些节点之间的距离从D中提取出去，组成一个方阵。
在这个方阵中，选择两节点之间距离小于30mm，小于30说明此两点可以在3min内到达彼此。
故可以任意删去一列，删去先出现的列。
现在得到需要添加的最多平台数就是上面剩下的那些列对应的节点n。
提取这些节点D中所在行，加上之前的20行，组成一个新的最短距离矩阵B。
其中A,B均为20+n*92的矩阵，A是全0阵，B是D中的一部分，进行五次迭代，出现我们需要的平台及对应的辖区。
迭代的规则是：
①在B中选取每列的最小值，赋给A中相应的行列位置。
②找到A中不为0的位置对应的案发率，把每个位置的距离数字乘以各自的案发率，并除去速度10，平台自身案发率*0.5加上。
所得数字为每一个平台的判断数。
③逐行判断，如果某行的判断上数大于所有节点案发率平均数*2的话，就把该行中的最大数字在B中置为0。
④重复上述三步，五次。
图3迭代前综合指标曲线分布与直方图
2、43、44、70、72
5、49、50、51、52、53、56、59
6、58
7、30、32、47、48
9、34、35、45
15、31
16、36、37
17、41、42、92
18、80、81、82、83、91
20、84、85、86、87、88、89、90
29、28
2
39、38
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