版高考数学大一轮复习第八章立体几何82空间几何体的表面积与体积教师用书文新人教版Word格式.docx

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锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

【知识拓展】

1．与体积有关的几个结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）多面体的表面积等于各个面的面积之和．（　√　）

（2）锥体的体积等于底面积与高之积．（　×

　）

（3）球的体积之比等于半径比的平方．（　×

（4）简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．（　√　）

（5）长方体既有外接球又有内切球．（　×

（6）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.（　×

1．（教材改编）已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（　　）

A．1cmB．2cm

C．3cmD.cm

答案　B

解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·

2r＝3πr2＝12π，

∴r2＝4，∴r＝2cm.

2．（2015·

陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．3πB．4π

C．2π＋4D．3π＋4

答案　D

解析　由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为

S＝2×

π×

12＋×

2π×

1×

2＋2×

2

＝π＋2π＋4＝3π＋4.

3．（2016·

全国甲卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．12πB.π

C．8πD．4π

答案　A

解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R）2π＝12π，故选A.

4．《九章算术》商功章有题：

一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面圆周长约为（　　）

A．1丈3尺B．5丈4尺

C．9丈2尺D．48丈6尺

解析　设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×

1.62≈3×

r2×

13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.

5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为______．

答案　

解析　设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为h＝h1＋h2，又记S＝S△ABC＝，则三棱柱的体积为V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P－ACC1A1的剩余体积为V′＝VP－ABC＋＝Sh1＋Sh2＝S（h1＋h2）＝，从而＝V－V′＝1－＝.

题型一　求空间几何体的表面积

例1　

（1）（2017·

淮北月考）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　）

A．21＋B．18＋

C．21D．18

（2）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

答案　

（1）A　

（2）12

解析　

（1）由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为

6×

（4－）＋2×

×

（）2＝21＋.故选A.

（2）设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.

由题意，得×

2×

h＝2，

∴h＝1，

∴斜高h′＝＝2，

∴S侧＝6×

2＝12.

思维升华　空间几何体表面积的求法

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；

组合体的表面积注意衔接部分的处理．

（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

　（2016·

大连模拟）如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．

答案　26

解析　该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×

4×

1＋2×

2－π×

12－2×

1＋×

1＝26.

题型二　求空间几何体的体积

命题点1　求以三视图为背景的几何体的体积

例2　（2016·

山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.＋πB.＋π

C.＋πD．1＋π

答案　C

解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V＝×

3＝＋π，故选C.

命题点2　求简单几何体的体积

例3　（2016·

江苏改编）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积为________m3.

答案　312

解析　由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m．因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积

V锥＝·

A1B·

PO1＝×

62×

2＝24（m3）；

正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·

O1O＝62×

8＝288（m3）．

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3）．

思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

（1）（2016·

四川）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

（2）正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（　　）

A．3B.C．1D.

答案　

（1）　

（2）C

解析　

（1）由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图（如图），且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝×

（×

1）×

1＝.

（2）在正△ABC中，D为BC的中点，则有AD＝AB＝，

＝×

＝.

又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，

平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，

AD⊥BC，AD⊂平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C，

即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．

∴＝·

AD＝×

＝1.

题型三　与球有关的切、接问题

例4　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为（　　）

A.B．2

C.D．3

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.

又AM＝BC＝，

OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝.

引申探究

1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.

又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，

从而V外接球＝πR3＝π×

（2）3＝32π，

V内切球＝πr3＝π×

23＝.

2．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解　正四面体的表面积为S1＝4·

·

a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·

a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.

3．已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？

解　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×

＝6，高为＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

　正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）

A.B．16πC．9πD.

解析　如图，设球心为O，半径为r，

则在Rt△AOF中，（4－r）2＋（）2＝r2，

解得r＝，

∴该球的表面积为4πr2＝4π×

（）2＝π.

15．巧用补形法解决立体几何问题

典例　（2016·

青岛模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，

则此几何体的体积为________．

思想方法指导　解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等．

解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×

S△ABC×

AA′＝×

24×

8＝96.

答案　96

1．（2016·

合肥质检）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．12＋4B．18＋8

C．28D．20＋8

解析　由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为×

2＋4×

2＝20＋8，故选D.

2．（2016·

大同模拟）一