高考数学极值点偏移终极套路文档格式.docx
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则g（x）在x（0,x2）上单调递增，故
g（x）g（x2）
0，
再结合a0,x1x20，故f（x1
2x2）0成立.a
aa
法四：
构造函数h（x）f（ax）f（ax）,（0
则
从而h（x）在（0,a）上单调递增，故h（x）h（0）0，即
f（a2
x）f（a2x）
对x（0,a）恒成立，
a
从而f（x）f（ax）,（0x），则f（x2）f（x1）
f（a
x1），
由x2,ax1（,），且f（x）在（,）单调递增，
故x2ax1，
即x1x2
，从而f（
x1x2
2）
0成立.
例2：
已知fxxlnx
12
mx
x，mR．若fx
有两个极值点x1，x2，且x1x2，
求证：
x1x2e
e为自然对数的底数）．
解法一：
齐次构造通解偏移套路
x2
x1
又0x1x2，设t
，则t1．因此，
于是
lnx1
lnx2
1tlnt
，t
t1
1．
要证lnx1lnx22，即证：
t1lnt
2，
1．即：
当t1时，有
lnt
设函数
2t1
htlnt，t1，则
所以，ht为1.上的增函数．注意到，h10，因此，hth10．
2t12于是，当t1时，有lnt．所以，有lnx1lnx22成立，x1x2e2．t1
解法二变换函数能妙解
x有两个零点．又
证法2：
欲证x1x2e2，需证lnx1lnx22．若fx有两个极值点x1，x2，即函数
fxlnxmx，所以，x1，x2是方程fx0的两个不同实根．显然m0，否则，函数fx为
单调函数，不符合题意．21·
世纪*教育网
证法3：
由x1，x2是方程
fx
0的两个不同实根得m
lnx
，令gx
gx
1lnx，因此，
在1,e，e,．
x
2，因此，
设1x1
ex2，需证明
x1x2
2e
e2，只需证明x1
0,e，只需证明
解法三构造函数现实力
e，即fx2x2
e0．
gx1
e
fx2
gx2，由于
，即
即hxfx
1,e
h
1lnxe2x2
22xe
0，故hx在1,e，故
hxhe0，即fx
e2．令
x1，则f
22e，因为x2，ex1
e,，
fx在e,
，所以x2
，即x1x2
e．
解法四
巧引变量
（一）
证法4：
设t1lnx1
0,1，
lnx21,
，则由
lnx1mx1
lnx2mx2
00得tt12
me1
t2
me2
et1
t2，设
kt1
t20，则t1
kek
ek1
，t2
k
k．欲证x1x2
ek112
e2，
解法五巧引变量
（二）
故gk在0,1，因此gkg10，命题得证．
I求fx的最值；
II证明：
x1x212
方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先
行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.21世纪教育网版权所有
2ax例4：
已知函数gxxeaR，e为自然对数的底数.
（1）讨论gx的单调性；
（2）若函数fxlngxax2的图象与直线ymmR交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为
答案】
（1）见解析
（2）见解析
）
f2xfx0．a
ln2axlnax2ax2，
211
2xfx在0,1上单调递减，又F1
aaa2
xfx0，原不等式成立．a
3
例5：
已知函数fxax2lnx的图象的一条切线为x轴.
（1）求实数a的值；
（2）令3
gxfxfx，若存在不相等的两个实数x1,x2满足gx1gx2，求证：
x1x21.21教育网
x0
（1）{
1
2
（2）见解析
1当x1时，01，
1111
记Gxgxghxhfxfxff
xxxx
记函数yfx的导函数为yfx，则
Gx
2x
2xx
故Gx
在
1,
上单调递增，
所以G
G1
0，所以gx
g
不妨设0
x11
x2，则gx1
gx2
g，
而0x11，01，有单调性知x1
即x1x21.
例6：
已知函数fxlnxax2bx且函数yfx图象上点1,f1处的切线斜率为0.
1）试用含有a的式子表示b，并讨论fx的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点Ax1,y1,Bx2,y2如果在函数图象上存在点Mx0,y0,x0x1,x2
使得点M处的切线lPAB，则称AB存在“跟随切线”.特别地，当x0x1x2时，又称AB存在“中值
跟随切线”.试问：
函数fx上是否存在两点A,B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A,B的坐标，若不存在，说明理由
（1）见解析
（2）不存在
令
tx1,（0t1），x2
构造函数gtlnt,（0t1），t1
则t0,1时，gt0恒成立，故ygt在0,1上单调递增从而得出不存在
试题解析：
函数yfx的定义域为0,，且f'
x1axb，
又f'
10，整理得ba1.
1）f'
x
axb
axa1
ax1x1
1）当a0时，易知x0,1，f'
x0,x1,时f'
x0，故yfx在0,1上单调递增，在1,上单调递减.
2）当a0地，令f'
x0，解得x1或x，则
①当1，即a1时，
f'
x0在0,上恒成立，则yfx在0,上递增.
当
a0时，yfx在0,1
及1
上单调递增：
yfx在
1,1上单调递减.a
1时，yfx在0,
上递增.
及1,
上单调递增；
1,1上递减.a
点睛：
对于导数
问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此
题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.
例7：
已知函数fxxlnxax2xaaR在其定义域内有两个不同的极值点
（1）求a的取值范围.
（2）设fx的两个极值点为x1,x2，证明x1x2e2.
（1）
a0
（2）见解析
1）
依题意，函数fx的定义域为0,，所以方程fx0在0,有两个不同根.即方程
转化为，
函数
lnx与函数y
2a的图象在
0,
上有两个不同交点
又g
lnx
，即0x
e时，
gx0，
e时，gx
2x
所以
x在
0,e
上单调增，
在e,
上单调减，
从而
gx极大=g
1e.
有且只有一
个零点是
1，且在
x0时，g
，在x
时，gx
lnx2ax0在0,有两个不同根.21·
cn·
jy·
com
0，所以由gx
的图象，
要想函数gx
与函数y2a的图象在0,
上有两个不同交点，
只需02a
11
，即a0e2e
2）由
（1）可知x1,x2分别是方程lnxax
0的两个根，即lnx1
ax1，
lnx2ax2，
设x1x20，作差得，
lnx1
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