精心整理二次函数专题讲座解析Word格式文档下载.docx

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半轴交于．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设直线交轴于是线段

上一动点（点异于），过作轴交直线于，过作轴于，

求当四边形的面积等于时点的坐标．

5.如图，已知抛物线与x轴相交于A（x1,0），B（x2,0）两点（其中x1<

0，x2>

0，<

），与y轴相交于点C，且∠ACB=90°

，AB=2。

若D点是C点关于x轴的对称点。

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设Q（x，y）是抛物线上的点，使

S△QCD=3，求点Q的坐标。

6.抛物线的解析式满足四个条件：

；

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵设该抛物线与轴的两交点分别为、（在的左边），与轴的交点为，是抛物线上第一象限内的点，交轴于点，，试比较与的大小.

7.平面直角坐标系已知抛物线的对称轴为x=,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H．⑴求抛物线的解析式；

⑵在

（1）中的抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1：

3两部分？

如果存在，求出P点的坐标；

如果不存在，请说明理由．

8.已知：

是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A（）、B（）.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设

（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

（3）若P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，且直线BC把△PCH分成面积之比为2:

3的两部分，请求出P点的坐标.

9.已知二次函数的图象过点、

（1）当这个二次函数的图象又过点时，求其解析式.

（2）设

（1）中所求二次函数图象的顶点为P，求的值.

（3）如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，的值确定吗？

为什么？

10.已知开口向下的抛物线与轴交于M、N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是的两根，点是抛物线与轴的交点，不小于

（1）求M和N两点的坐标；

（2）求系数的取值范围；

（3）在的取值范围内，当取得最大值时，抛物线上是否存在点P使得？

若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

11.如图二次函数的图象与轴只有一个公共点，与轴的交点为.过点

的直线与轴交于点，与二次函数的图象交于另一点.若，求这个二次函数的解析式.

12.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°

，得到线段OB.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由.（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；

若没有，请说明理由.

13.如图，已知抛物线与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OB，BC∥x轴．

（1）求抛物线的解析式。

（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE＝，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．

14.已知：

抛物线与x轴交于、两点，且抛物线与y轴交于点C，

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使与相似，并说明直线经过

（1）中抛物线的顶点D；

（3）过

（2）中的点E的直线与

（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M’、N’，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交

（1）中所求抛物线于点Q，是否存在t值，使若存在，求出满足条件的t值；

抛物线与圆

15.如图，已知两点、，以AB为直径作⊙P与轴负半轴交于C点，⑴求过A、C两点的直线解析式和过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线解析式；

⑵若点M是⑴中抛物线的顶点，求△ABC的面积及直线MC的解析式；

⑶判定⑵中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。

16.如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为，B点坐标，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P，与轴的负半轴交于点C，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M⑴求此抛物线的解析式；

⑵设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A、B、C三点外），求直线MD的解析式；

⑶判定⑵中的直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由。

17.抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。

若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM的形状，并说明理由。

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。

（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。

18.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A；

抛物线经过O、A两点.

（1）试用含有字母a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以点D为圆心，以DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分，若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，且它所在的圆恰与OD相切，求⊙D的半径长及抛物线的解析式；

19.已知抛物线与轴交于A、B两点，点在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上，的长是的长的2倍，点为抛物线的顶点；

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与轴、直线BC都相切，求点P的坐标.

20.已知抛物线与轴交于A、B两点，且点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上.

（1）求实数的取值范围；

（2）设OA、OB的长分别为、，且∶＝1∶5，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的切线交轴于E点，求点E的坐标.

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，A（3，0）、B（m，）是以OA为直径的⊙M上的两点，且tan∠AOB=,BH⊥x轴，垂足为H

（1）求H点的坐标；

（2）求图象经过A、B、O三点的二次函数的解析式；

（3）设点C为

（2）中的二次函数图象的顶点，问经过B、C两点的直线是否与⊙M相切，请说明理由.

注：

抛物线y＝ax2＋bx＋c（c≠0）的顶点为

抛物线与相似三角形

21.已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，是原点.

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵设该抛物线与轴的交点为、（在的左边），问在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出点的坐标；

22.如图已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线的函数解析式；

（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；

若不存在，请说明理由．

23.如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，

求四边形ACBP的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存

在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点

为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；

否则，请说明理由．

二次函数中的线段长度问题

24.已知：

抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．

（1）求a的值；

（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；

（3）P为

（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；

若不存在，说明理由．

25.如图，已知，，现以A点为位似中心，相似比为9:

4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

26.已知一抛物线经过O（0，0）、B（1，1）两点且解析式的二次项系数

为（a＞0〕

（1）求该抛物线的解析式（系数用含a的代数式表示）；

（2）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N（异于原点），求点M、N的坐标（用含a的代数式表示）；

（3）在

（2）的条件下，问：

当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？

当a在什么范围内取值时，ON-BM的值也为常数？

27.如图，关于x的二次函数y＝x2-2mx－m的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x2＞0＞x1），与y轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）以点D（，0）为圆心作⊙D，与y轴相切于点O．过抛物线上点E（x3，t）（t＞0，x3＜0）作x轴的平行线与⊙D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H，问：

是否存在实数t，使得EF＋GH=FG？

如果存在，求出t的值；

28.已知：

如图所示的两条抛物线的解析式分别是，（其中为常数，且）．

（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；

（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），

与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；

（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．

29.（06天津）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（2,4）.

（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；

（Ⅱ）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。

抛物线中的分类讨论

30.已知：

如图抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。

当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。

问：

是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由。

31.如图抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x＝0和x＝2时，y的值相等，直线y＝3x－7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q，若P在线段BM上运动（点P不与点B、M重