高等数学案例集Word下载.docx

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,3,12）;

xmin=x

fmin=fval

运行结果：

f=Inf 

f=14.0656 

xmin=3.9835 

fmin=7.0235

3、普勒与酒桶问题

　德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。

他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。

为什么取这样一个书名？

据说开普勒把自己求许多图形的面积方法，与成一本书，可苦于找不到一个好的书名。

有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶，和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？

高一点好不好？

扁一点行不行？

第五章、定积分

1、天然气产量的预测

工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预计天然气开采后的第t个月的月产量的函数给出：

（百万立方米）,试估计前24个月的总产量。

提示：

前24个月的总产量为，因为计算这个和式比较难，应用定积分来估计它。

令,,

则，且，从而为递增函数。

答案：

（百万立方米）

2、终身供应润滑油所需的数量

某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。

但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。

一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出：

其中表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产该润滑油多少升？

提示:

是该批分级一年后的用油率，所以等于第一年到第n年间该批飞机所需的润滑油的数量，那么就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。

600（L）

3、地球环带的面积

地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。

假定地球是球形的，试证任何一个环带的面积都是,这里k是构成环带的两条纬线间的距离，d是地球直径（约13000公里）。

如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？

4、高尔夫球座的体积

一个木制高尔夫球座大体上具有以与的图象为边界的区域绕OX轴旋转一周形成的立体。

这里

，

问这个高尔夫球座的体积是多少？

答案：

5、转售机器的最佳时间

由于折旧等原因，某机器转售价格是时间t（周）的减函数，其中A是机器的最初价格。

在任何时间t，机器开动就能产生的利润。

问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？

这利润是多少？

机器卖了多少钱？

假设机器使用了x周后出售，此时的售价是，在这段时间内机器创造的利润是。

于是，问题就成了求总收入+，的最大值。

总利润P=11.01A,机器卖了元。

6、人口统计模型

人口统计模型

（1）：

某城市1990年的人口密度近似为，表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。

试求距市中心2km区域内的人口数。

人口统计模型

（2）：

若人口密度近似为单位不变，试求距市中心2km区域内的人口数。

（1）（十万）,

（2）（十万）

7、心脏输出量的测定

小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此，需要测定他的心脏每分钟输出的血量。

使用的方法为“染色稀释法”：

程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于的血液的稀释，染色的浓度随时间t变化，从而可测得一个关于t的函数C（t）（mg/L）.设注射的染色的量为D，试求小王的心脏输出量R（L/min）.

理解“染色稀释法”的原理，必须知道在小时间区间[t,t+dt]内通过取样点的染色量等于浓度C（t）*R*dt。

因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取样点的染色量的和，由积分的定义知：

其中T0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为：

8、呼出或吸入空气的速率

当你呼吸时，你呼出或吸入的气流的速率V（t）（升/秒）可用一个正弦曲线来描述：

其中时间t（单位为秒）从某次吸气开始计算起，A是最大的气流速率，T为一次呼吸所需得的时间。

当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：

反之，你正在呼气。

在你呼气的某时间段[t1，,t2]上，曲线y=V（t）与t=t1,t=t2及t轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入空气的总量。

每次吸气所有时间为,由V（t）的周期性，只需考虑[0,]时间段上吸入的空气总量即可。

每次吸气时吸入的总量为升

每小时吸入空气的总量＝每次吸气时吸入的空气总量与1小时内的呼吸次数之积

9、估计某医院在某时间内的就医人数

一家新的乡村精神医病诊所刚开张。

对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要来此治疗。

如果现在有A个病人第一次来此就诊，则t个月后，这些病人中个病人还在此治疗，这里，现设这个诊所最开始时接受了300个人的治疗，并且计划从现在开始每月接受10名新病人。

试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？

为了计算从现在开始的15个月后内接受的病人在15个月后还在此治疗的人数，将15个月的区间,分为n个等距为的小区间，令表示第j个区间的左端点（）。

既然每月要接受10名新病人，于是在第j个小区间内接受的新病人人数为，于是病人将从开始，个月后还要来此治疗。

所以从现在开始15个月后新接受的病人还要在此治疗的人数总和为：

P＝247024

10、尿素的清除率答案：

肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。

临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即其中U表示尿中的尿素浓度，V表示美分析出的尿量，P表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。

某病人的实验室测量值为U=500,V=1.44,P=20,则C=30。

若某一测量值的误差最大不超过1%，估计C的最大绝对值误差和相对误差。

提示：

利用全微分方程

答案:

C的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。

第八章　多元函数微分法及其应用

1、最大利润问题

某公司在生产使用a,b两种原料，已知a,b两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10美元，第二种的价格为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。

多项式的极值，求驻点。

28189美元。

2、如何购物最满意

日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。

由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。

如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？

经济学家试图借助效用函数来解决这一问题。

所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x单位y单位时满意程度的量。

常见的形式有：

U＝U（x,y）=x+y或　　　　U＝U（x,y）=lnx+lny等。

而当效用函数达到最大值时，人们购买分配的方案最佳。

例如：

小孙由200元钱，他决点该购买二种急需品：

计算机磁盘和录音磁带。

且设他购买x张磁盘y张录音磁盘的效用函数为U＝U（x,y）=lnx+lny，设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。

拉格朗日乘数法。

买12张磁盘和10盒磁带。

3、怎样设计海报的版面既美观又经济

现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积128平方分米，上下空白各2分米,两边空白各1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最少?

函数极值

（海报印刷部分为从上到下长16分米，从左到右宽8分米）。

4、接受能力与讲授时间的关系

通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间。

讲座开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。

分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：

其中G（x）是接受能力的一种度量,x是提出概念的时间（单位：

min）。

（a）x为何值时，学生接受能力增强或降低？

（b）第10分钟时，学生的兴趣是增长还是降低？

（c）最难的概念应该在何时讲授？

（d）一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？

函数单调性与极值

（a）、x<

13时G单调上升；

x>

13时G单调下降。

（b）、学生的兴趣在增长。

（c）、最难的概念应该在提出问题后的第13分钟提出。

（d）、这个概念学要55的接受能力，小于最大的接受能力G（13）=59.9，所以可以对这组学生讲授该概念。

5、在确定的预算下，劳动力与资本的最佳配置

在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数的模型，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量，C与a是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量。

现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是，每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元。

该制造商的总预算是50000元。

问他该如何分配这笔钱于雇用劳力与资本，以使生产量最高。

该制造商应该雇用250个劳力而把剩余的部分作为资本投入。

这时可获得最大产量f（250,50）=16719。

5、多元函数微分学的应用：

设ΔABC锐角三角形，P（x,y）为其内一点，令，证明；

在f（x,y）取极值的点P0处，向量、、夹的角相等。

13、预测某个月加利福尼亚酒店的销售量

一酒点有两种便宜的白葡萄酒，一种来源于加利福尼亚，一种来源于纽约，销售图表显示两种酒的定价对它们的销售情况有影响，如果加利福尼亚酒每瓶x元，同时纽约酒每y元，则加利福尼亚酒的销售量将为Q（x,y）=300-2x2+30y瓶，预计从现在起的t个月后，加利福尼亚的价格将为x=2+0.05t元/瓶,同时纽约酒的价格将为y=2+0.1元/瓶

问:

从现在起的四个月后的一个月里，加利福尼亚酒的销售量将增加（减少）多少瓶？

利用微分方程

将减少3.65瓶

14、当商店卖两种牌子的冻果汁时，如何取得最大利润

一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的果冻汁，当地牌子的进价每听30美分，外地的40美分，店主估计，如果当地牌子的每听x美分,外地的y美分,，则每天可卖70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果汁。

问：

店主每天以什么价格买出两种牌子的果汁可取的最大收益。

多元函数的极，答案：

x=53且y=55时小店可取的最大利润

15、飞机的速度

假设空气以每小时32公里的速度沿平行X轴正向的方向流动。

一架飞机在xoy平面沿与X轴正向成30度的方向飞行。

若飞机相对于空气的速度时每小时840公里。

问飞机相对于地面的速度是多少？

图示法,答案：

856.45

16、超音速飞机与“马赫锥”

当一架超音速飞机在高空飞行时，由于飞机的速度比音速快。

所以人们常常是先看到飞机从天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声。

那么请问，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音呢？

这个问题的答案十分有趣：

能够听到飞机声音的区域恰好是一个以飞机为顶点的圆锥体——这就是著名的“马赫锥”。

在马赫锥之外，无论据飞机多么近都不会听到飞机的轰