学年高中数学北师大版版选修21课时作业第Word格式文档下载.docx
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4．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°
角的对角线的数目是（ ）
A．0B．2C．4D．6
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果
＝（2，－1，－4），
＝（4,2,0），
＝（－1,2，－1）．对于结论：
①AP⊥AB；
②AP⊥AD；
③
是平面ABCD的法向量；
④
∥
.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知a＝（－3,2,5），b＝（1，x，－1）且a·
b＝2，则x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
·
＝0，
＝0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．不确定
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°
，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
9．已知
＝（1,2,3），
＝（2,1,2），
＝（1,1,2），点Q在直线OP上运动，则当
取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为（ ）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若向量a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），满足条件（c－a）·
（2b）＝－2，则x＝________.
12．若A
，B
，C
是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝__________.
13．平面α的法向量为m＝（1,0，－1），平面β的法向量为n＝（0，－1,1），则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
14．若向量a＝（2,3，λ），b＝
的夹角为60°
，则λ＝________.
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°
，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）
如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的
分点，设
＝α
＋β
＋γ
，试求α、β、γ的值．
17.
（12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝
a，点E是SC上的点，且SE＝λa（0<
λ≤2）．
（1）求证：
对任意的λ∈（0,2]，都有BD⊥AE；
（2）若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
18.（12分）已知空间三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝
，b＝
.
（1）求a和b的夹角θ的余弦值；
（2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
19．（12分）
如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°
，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
20.
（13分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
平面PDC⊥平面PAD；
（2）求点B到平面PCD的距离．
21．（14分）如图，
四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点．
AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
（3）在
（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；
若不存在，试说明理由．
1．B
2．C
＝（0,3,3），
＝（－1,1,0），
∴cos〈
〉＝
∴〈
〉＝60°
.]
3．C
＋
（
）＝
由空间向量的基本定理知，x＝y＝
4．C
5．C ∵
＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；
∵
＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；
由①②知
是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．]
6．C
7．B △BCD中，
＝（
－
）·
2>
0.∴∠B为锐角，同理，∠C，∠D均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．]
8．C
建系如图，设AB＝1，则B（1,0,0），A1（0,0,1），C1（0,1,1）．
∴
＝（－1,0,1），
＝（0,1,1）
〉
，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°
9．C ∵Q在OP上，∴可设Q（x，x,2x），则
＝（1－x，2－x,3－2x），
＝（2－x,1－x,2－2x）．
＝6x2－16x＋10，∴x＝
时，
最小，这时Q
10．C
以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
＝（－1,1，－1），
＝（－1,1,1）．
可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈
，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为
11．2
解析 ∵a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），
∴c－a＝（0,0,1－x），2b＝（2,4,2）．
∴（c－a）·
（2b）＝2（1－x）＝－2，∴x＝2.
12．2∶3∶（－4）
解析
由a·
＝0，a·
＝0，得
x∶y∶z＝
y∶y∶
＝2∶3∶（－4）．
13．60°
或120°
解析 ∵cos〈m，n〉＝
＝－
∴〈m，n〉＝120°
，即平面α与β所成二面角的大小为60°
14.
解析 ∵a＝（2,3，λ），b＝
∴a·
b＝
λ＋1，|a|＝
，|b|＝
∴cos〈a，b〉＝
∴λ＝
15.
建立如图所示坐标系，则
＝（－1,1，－2），
＝（0,2，－2），
，∴〈
即异面直线AD和BC1所成角的大小为
16．解 ∵
）＋
）
∴α＝
，β＝
，γ＝
17．
（1）证明 连结BD，AC，设BD与AC交于O.
由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O为BD中点，
∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.
又AE⊂面SAC，∴BD⊥AE.
（2）解 由
（1）知BD⊥SO，
同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，
则OA＝
，OB＝
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴（4a2－x2）＋（2a2－x2）＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝
a，则A（
a,0,0），C（－
a,0,0），
S（0,0，a）．
∵SC⊥平面EBD，∴
是平面EBD的法向量．
＝（－
a,0，－a），
a,0，－a）．
设SA与平面BED所成角为α，
则sinα＝
即SA与平面BED所成的角为
18．解 a＝
＝（－1,1,2）－（－2,0,2）＝（1,1,0），
＝（－3,0,4）－（－2,0,2）＝（－1,0,2）．
（1）cosθ＝
∴a与b的夹角θ的余弦值为－
（2）ka＋b＝（k，k,0）＋（－1,0,2）＝（k－1，k,2），
ka－2b＝（k，k,0）－（－2,0,4）＝（k＋2，k，－4），
∴（k－1，k,2）·
（k＋2，k，－4）
＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－
或k＝2.
19．解
以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B（1,0,0），则C（－1,0,0），A（0,1,0），S（0,0,1），SC的中点M
故
＝（－1,0，－1），
所以
＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈
〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈
即二面角A—SC—B的余弦值为
20．
（1）证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依
题意可知A（0,0,0），
B（0,2,0），C（4,2,0），D（4,0,0），
P（0,0,2）．
＝（4,0，－2），
＝（0，－2,0），
＝（0,0，－2）．
设平面PDC的一个法向量为n＝（x，y,1），
则
⇒
所以平面PCD的一个法向量为
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为
＝（0,2,0）．
∵n·
＝0，∴n⊥
∴平面PDC⊥平面PAD.
（2）解 由
（1）知平面PCD的一个单位法向量为
∴点B到平面PCD的距离为
21．
（1）证明 连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，
、
分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝
a.
于是S（0,0，
a），D
B
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
（2）解 由题意知，平面PAC的一个法向量
，平面DAC的一个法向量
设
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