高考理科数学一轮总复习函数的单调性与最值Word文件下载.docx

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（2）存在x0∈I，使得

f（x0）＝M

（1）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；

结论

M为最大值

M为最小值

导师提醒

1．掌握函数单调性的两种等价形式

设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，

（1）

＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

（2）（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

2．注意单调性的两个易错点

（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

（2）有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．

3．记牢五条常用结论

（1）对勾函数y＝x＋

（a＞0）的增区间为（－∞，－

]和[

，＋∞），减区间为[－

，0）和（0，

]．

（2）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（3）函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u），u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．

（4）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

（5）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若定义在R上的函数f（x），有f（－1）<

f（3），则函数f（x）在R上为增函数．（　　）

（2）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）．（　　）

（3）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　　）

（4）所有的单调函数都有最值．（　　）

（5）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．（　　）

（6）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

　（5）×

　（6）√

下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（　　）

A．y＝|x|B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋4

解析：

选A.y＝3－x在R上递减，y＝

在（0，＋∞）上递减，y＝－x2＋4在（0，＋∞）上递减，故选A.

函数y＝x2－6x＋10在区间（2，4）上（　　）

A．递减B．递增

C．先递减后递增D．先递增后递减

选C.因为函数y＝x2－6x＋10的图象为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x2－6x＋10在（2，3）上为减函数，在（3，4）上为增函数．

若函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

因为函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－

.

（－∞，－

）

（教材习题改编）已知函数f（x）＝

，x∈[2，6]，则f（x）的最大值为________，最小值为__________．

可判断函数f（x）＝

在[2，6]上为减函数，所以f（x）max＝f

（2）＝2，f（x）min＝f（6）＝

2　

　　　　　　确定函数的单调性（区间）（多维探究）

角度一　求函数的单调区间

（1）函数f（x）＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是（　　）

A.

　　　　　　　B.

和[2，＋∞）

C．（－∞，1]和

D.

（2）函数y＝

的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

【解析】　

（1）y＝|x2－3x＋2|

＝

如图所示，函数的单调递增区间是

和[2，＋∞）；

单调递减区间是（－∞，1]和

.故选B.

（2）令u＝x2＋x－6，

则y＝

可以看作是由y＝

与u＝x2＋x－6复合而成的函数．

令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

易知u＝x2＋x－6在（－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞）上是增函数，而y＝

在[0，＋∞）上是增函数，

所以y＝

的单调减区间为（－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞）．

【答案】　

（1）B　

（2）[2，＋∞）　（－∞，－3]

角度二　含参函数的单调性

（一题多解）判断并证明函数f（x）＝

（a≠0）在（－1，1）上的单调性．

【解】　法一：

设－1＜x1＜x2＜1，

f（x）＝a

＝a

，

f（x1）－f（x2）＝a

－a

，由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

函数f（x）在（－1，1）上递减；

当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

函数f（x）在（－1，1）上递增．

法二：

f′（x）＝

所以当a>

0时，f′（x）<

0，当a<

0时，f′（x）>

0，

即当a>

0时，f（x）在（－1，1）上为单调减函数，

当a<

0时，f（x）在（－1，1）上为单调增函数．

确定函数单调性的4种方法

（1）定义法．利用定义判断．

（2）导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

（3）图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：

一是单调区间必须是函数定义域的子集；

二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（4）性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

[提醒]　求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．

1．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是________．

由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4；

当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，二次函数的图象如图，

由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）．

[－1，0]，[1，＋∞）

2．判断并证明函数f（x）＝ax2＋

（其中1＜a＜3）在x∈[1，2]上的单调性．

解：

设1≤x1＜x2≤2，则

f（x2）－f（x1）＝ax

＋

－

＝（x2－x1）

由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，

1＜x1x2＜4，－1＜－

＜－

又1＜a＜3，

所以2＜a（x1＋x2）＜12，

得a（x1＋x2）－

＞0，从而f（x2）－f（x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

故当a∈（1，3）时，f（x）在[1，2]上单调递增．

　　　　　　函数单调性的应用（多维探究）

角度一　比较大小

已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f

，b＝f

（2），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＞a＞b　　　　B．c＞b＞a

C．a＞c＞bD．b＞a＞c

【解析】　因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f

＝f

.由x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·

（x2－x1）＜0恒成立，知f（x）在（1，＋∞）上单调递减．

因为1＜2＜

＜e，所以f

（2）＞f

＞f（e），

所以b＞a＞c.

【答案】　D

角度二　解函数不等式

定义在[－2，2]上的函数f（x）满足（x1－x2）·

[f（x1）－f（x2）]＞0，x1≠x2，且f（a2－a）＞f（2a－2），则实数a的取值范围为（　　）

A．[－1，2）B．[0，2）

C．[0，1）D．[－1，1）

【解析】　因为函数f（x）满足（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，x1≠x2，

所以函数在[－2，2]上单调递增，

所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C.

【答案】　C

角度三　根据函数的单调性求参数

（1）（2019·

郑州模拟）函数y＝

在（－1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．a＝－3B．a＜3

C．a≤－3D．a≥－3

（2）设函数f（x）＝

若函数y＝f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]

B．[1，4]

C．[4，＋∞）

D．（－∞，1]∪[4，＋∞）

【解析】　

（1）y＝

＝1＋

由题意知

得a≤－3.

所以a的取值范围是a≤－3.

（2）作出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.

【答案】　

（1）C　

（2）D

函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

[提醒]　①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；

②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　

1．已知函数f（x）＝

若f（2－x2）>

f（x），则实数x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（－1，2）

D．（－2，1）

选D.因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．

因为当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数，

当x>

0时，f（x）＝ln（x＋1）也是增函数，

所以函数f（x）是定义在R上的增函数．

因此，不等式f（2－x2）>

f（x）等价于2－x2>

x，

即x2＋x－2<

0，解得－2<

x<

1.

2．（2019·

武汉模拟）若函数f（x）＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，1]

选B.因为函数f（x）＝2|x－a|＋3＝

因为函数f（x）＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞）上不单调，

所以a＞1.

所以a的取值范围是（1，＋∞）．

故选B.

　　　　　　函数的最值问题（师生共研）

（1）已知函数f（x）＝