数学北京市各区二模试题分类解析19创新题Word格式文档下载.docx

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其中正确结论的序号是____②______.

7、

1、（2019朝阳二模理20）（本小题满分14分）

对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，试求的值；

（Ⅱ）求证：

不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；

（Ⅲ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”.求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.

（Ⅰ）解：

因为,

所以.……………………………………2分

（Ⅱ）证明：

假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.

设，，，，由已知,

由于，所以，.

不妨令，，这里，且，

同理，，且，

因为只有三个元素，所以.

即，但是，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.……………………………………8分

（Ⅲ）当时，记，记，

则，显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此.　……………………………………10分

下面证明：

含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.

设，

若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.

以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.……………………………………14分

2、（2019丰台二模理20）.（本小题共13分）

用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求证：

在数列中，不大于的项共有项．

解：

（Ⅰ）由已知知

．

所以．………………4分

（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，

所以我们可设计如下表格

1

2

3

4

5

‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．

且‥‥

所以．………………8分

（Ⅲ）任取，，

若，则必有．

即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．

对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，

则，即，所以，

同理，第二行共有的数不大于，有，

第行共有的数不大于，有．

所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．

………………13分

3、（2019海淀二模理20）（本小题共13分）

对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0.例如:

1,0,1，则设是“0-1数列”，令

.

（Ⅰ）若数列：

求数列；

（Ⅱ）若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？

请说明理由；

（Ⅲ）若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.

（Ⅰ）由变换的定义可得…………………………………2分

…………………………………4分

（Ⅱ）数列中连续两项相等的数对至少有10对…………………………………5分

证明：

对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，

因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，

所以中至少有10对连续相等的数对.…………………………………………………………8分

（Ⅲ）设中有个01数对，

中的00数对只能由中的01数对得到，所以，

中的01数对有两个产生途径：

由中的1得到；

由中00得到，

由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，

所以，

由可得，

当时，

若为偶数，

上述各式相加可得，

经检验，时，也满足

若为奇数，

所以……

4、（2019西城二模理20）.（本小题满分13分）

若为集合且的子集，且满足两个条件：

①；

②对任意的，至少存在一个，使或.

…

则称集合组具有性质.

如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.

（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；

集合组1：

；

集合组2：

（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；

（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）

集合组1具有性质.………………1分

所对应的数表为：

………………3分

集合组2不具有性质.………………4分

因为存在，

有，

与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.………………5分

（Ⅱ）

……………7分

.………………8分

（注：

表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）

（Ⅲ）设所对应的数表为数表，

因为集合组为具有性质的集合组，

所以集合组满足条件①和②，

由条件①：

，

可得对任意，都存在有，

所以，即第行不全为0，

所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.

………………9分

由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.

所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.………………10分

因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，

所以.

又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.

所以.………………12分

因为等于表格中数字1的个数，

所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，

而时，在数表中，

的个数为的行最多行；

因为上述共有行，所以还有行各有个，

所以此时表格中最少有个.

所以的最小值为.………………14分

5、（2019昌平二模文20）（本小题满分14分）

已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立.若，是数列的前项和.

（I）求数列的通项公式；

（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；

（Ⅲ）设（且），使不等式

恒成立，求正整数的最大值．

（I）∵在定义域内有且只有一个零点

……1分

当=0时，函数在上递增故不存在，

使得不等式成立……2分

综上，得…….3分

…………4分

（II）解法一：

由题设

时，

时，数列递增

由可知

即时，有且只有1个变号数；

又

即∴此处变号数有2个

综上得数列共有3个变号数，即变号数为3……9分

解法二：

由题设

当时，令

又时也有

综上得数列共有3个变号数，即变号数为3…………9分

（Ⅲ）且时，

可转化为．

则当且，

所以，即当增大时，也增大．

要使不等式对于任意的恒成立，只需

即可．因为，

所以.即

所以，正整数的最大值为5．

6、（2019朝阳二模文20）（本小题满分14分）

对于整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.

（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；

（Ⅱ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8的非“谐和集”，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.

因为，所以.………………………2分

又因为，所以.……………………………4分

（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”.…5分

含有元素8的一个非“和谐集”.…7分

当时，记，，

记，则.

显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.

同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此.　…………………………………………………10分

设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.

现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，

，，，.…12分

综上，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.…………………………………………

7、（2019西城二模文20）（本小题满分13分）