带电粒子在磁场中运动解题方法及经典例题Word文档下载推荐.docx
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（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图;
（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量
⑵利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
例3、如图19-19所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.
解析：
质点在磁场中作半径为R的圆周运动
S19-19
根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上
的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线,则与这两直线均相距R的O点就是圆周的圆心.质点在磁场区域中的轨道就是以O为圆心、R为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN,M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上.
在通过MN两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为
所求磁场区域如图中实线圆所示.
变式：
一质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B处穿过x
轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°
，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°
角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。
如图示4所示，不计重力，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C点到B点的距离ho解析：
（1）反向延长Vb交y轴于。
2点，作/BO2O的角平分线交X轴于即为圆运动轨道的圆心，0。
！
即为圆运动轨道的半径，
其半径为Rroo.rEY
qB
Smin二r
（2）B到C受电场力作用，做类平抛运动
沿初速方向：
hsin30=vt
4.'
'
3mv2
利用④⑤消去t解得h二
qE
（4）圆周运动中有关对称的规律
①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等
例4如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、
负电子同时从同一点O以与MN成30°
角的同样速度v射入磁场（电
子质量为m电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？
射出的时/
间差是多少？
s=2r=
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出.
例5.［带电粒子在有界匀强磁场中运动的分析］如图所示，半径为
圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子
（不计重力）从A点以速度vo垂直于磁场方向射入磁场中，并从
射出，若/A0&
120°
则该带电粒子在磁场中运动的时间为
2nr
A.3v。
B2丽nr
3vo
答案D
A点正对着圆心O以速
•如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，从
半径为R的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为要使带电粒子与圆筒内壁碰撞2次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
X
XX
x
（）
D牛
3voA
B。
t.设粒子
寸
M
2mv
Be
二、特殊方法
1旋转圆法
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动
轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动
轨迹。
1=1
例1.如图8所示，S为电子源，它在纸面360°
度范围内发射速度大小为Vo,质量为•m
电量为q的电子（q<
0）,MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L,挡板左侧充
满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv/qL,求挡板被电子击中的范围为多大？
由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S
点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与
■$¥
第：
二二方
图-9
MN的相切时的交点P,
最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由
洛仑兹力提供向心力，由'
1■亠二
SQ为直径，则：
SQ：
2L,SO=L，由几何关系得：
---・
P为切点，所以
OP=L，所以粒子能击中的范围为111o
得:
例2.（2010全国新课程卷）如图10所示，在Owx<
A.Owyw-范围内有垂直于
xy平面向外的匀强磁场，
大量质量为m电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在
磁感应强度大小为B。
坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射
xy平面内,
a
与y轴正方向的夹角分布在0〜90°
范围内。
己知粒子在磁场中做圆周运动的半
仝径介于
a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。
求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：
（1）速度大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。
S-10
设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律和洛仑兹力
从0点以半径Rc<
Rva）作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场
中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。
设该粒子在磁
T打
I—_—
场中的运动时间为t,依题意〔，所以/OCAJ。
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为a,由几何关系得:
a=A--..
2,R迪&
二q-RcqsO!
，再加上肋必=1,
2、缩放圆法
带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中,度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图'
*
探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
V
作圆周运动的半径随着速
2）,利用缩放的动态圆，可以
V戶二；
彳"
金雪，一\
『・亠J!
-i1
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.tm=2to
•L.
JI
图
.>
y-……
例3.如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B,宽度为d,一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为0，已
知电子的质量为m电量为e,要使电子能从轨道的另一侧射出，
求电子速度大小的范围。
如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为Vo,带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：
r+rcos0=d①
^-13
EV。
B二朋
电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：
，,所以：
_Bed
联立①②解得:
“.I•二，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于
Bed
例4.如图，一足够长的矩形区域abed内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射入与Od边夹角为30°
大小为vo的带电粒子，已
知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。
求：
（1试求粒子能从ab边上射出磁场的vo的大小范围；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。
叭
-i
:
X；
°
LxX
xi
込
1
1XJ
d
---JC
（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示，轨迹与
de边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为0,
则轨道半径
V
-m一
由j得最大速度
qBL
va二
m。
（注：
两条半径与它们所夹的一条边构成等边三角形）
轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为
O,则轨道半径r2=L/3，
二州一
由‘1得最小速度
所以粒子能够从ab边射出的速度范围为:
3m
（2）当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间,
因转过的圆心角为
300
所以最长时间：
，射出的范围为：
O（=「2=L/3。
变式1如图所示，MN为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值•静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝
缘板，它与N板的夹角为0=45°
，孔Q到板的下端C的距离
为L,当MN两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求:
（1）两板间电压的最大值Un；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间tm.
解析
（1）MN两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上,
所以圆心在C点，如图所示，CH=QC=L
故半径ri=L
2
V1
又因为m—
且qU=卄所以“寧.
22m
⑵设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点，此轨迹的半径为「2,设圆心为A,
在厶AKC中:
sin45
「2
L—「2
解得「2=r2—1）L,即"
KC=「2=（2
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