运筹学应用实例分析.docx
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运筹学应用实例分析
第一部分小型案例分析建模与求解
案例1.杂粮销售问题
一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务，公司现有库容5011担的仓库。
一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。
估计第一季度杂粮价格如下所示：
一月份，进货价2.85元，出货价3.10元；二月份，进货价3.05元，出货价3.25元；三月份，进货价2.90元，出货价2.95元；如买进的杂粮当月到货，需到下月才能卖出，且规定“货到付款”。
公司希望本季度末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大，每个月考虑先卖后买？
解：
设第i月出货担，进货担，i=1，2，3；可建立数学模型如下：
目标函数：
约束条件：
利用WinSQB求解（x1,x2,x3,x4,x5,x6分别表示x10,x11,x21,x21,x30,x31）：
所以最优策略为：
1月份卖出1000担，进货5011担；2月份卖出5011担，不进货；3月份不出货，进货2000担。
此时，资金余额为20000-695.60=19304.40（元），存货为2000担。
案例2.生产计划问题
某厂生产四种产品。
每种产品要经过A，B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1，B2，B3表示。
产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。
产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。
产品F可在A2及B2，B3上加工。
产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1，B2设备上加工。
已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？
设备设
产品
设备有效台时
1
2
3
4
A1
A2
B1
B2
B3
5
7
6
4
7
10
9
8
12
11
10
6
8
10
8
6011
10000
4000
7000
4000
原料费（元/件）
单价（元/件）
0.25
1.25
0.35
2.00
0.50
2.80
0.4
2.4
解：
设Xia（b）j为i产品在a（b）j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表如下：
设备设
产品
设备有效台时Ta（b）j
1
2
3
4
A1
A2
B1
B2
B3
X1a1
X1a2
X1b1
X1b2
X1b3
X2a1
X2a2
X2b1
X3b2
X3b3
X3a1
X3a2
X3b1
X3b2
X3b3
X4a1
X4a2
X4b1
X4b2
X4b3
6011
10000
4000
7000
4000
原料费Ci（元/件）
单价Pi（元/件）
0.25
1.25
0.35
2.00
0.50
2.80
0.4
2.4
其中，令X3a1，X3b1，X3b2，X3b3，X4b3=0
可建立数学模型如下：
目标函数:
=1.00*（X1a1+X1a2）+1.65*（X2a1+X2a2）+2.30*X3a2+2.00*（X4a1+X4a2）
约束条件：
利用WinSQB求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：
综上，最优生产计划如下：
设备设
产品
1
2
3
4
A1
A2
B1
B2
B3
77
423
500
400
400
873
2
875
目标函数=3495，即最大利润为3495
案例3.报刊征订、推广费用的节省问题
解：
该问题可以看成是求费用最小的产销平衡运输问题，
日本
香港特别行政区
韩国
产量
中文书刊出口部
10.20
7
20
15000
深圳分公司
12.50
4
14
7500
上海分公司
6
8
7.5
7500
销量
15000
10000
5000
利用WinSQB求解
得最优分配方案为：
即最优任务分配如下：
日本
香港特别行政区
韩国
中文书刊出口部
12500
2500
深圳分公司
7500
上海分公司
2500
5000
采用此方案费用最小，为227500（元）。
案例4.供电部门职工交通安排问题
我们把通勤费作为优化的目标。
ai（i=1，2，......18）表示住地的职工人数，用bj（j=1，2，.......8）表示工作地点的定员，cij（i=1，2，.....18;j=1，2，......8）表示每个职工从住地到各工作地点的月通勤费（单位：
元），有关数据列表如下表，试建立此问题的数学模型并求解。
解：
根据题意，以员工住地为产地，工作地点为销地，将问题转化为求月总通勤费最小的运输方案
利用WinSQB建立模型求解：
得分配结果如下：
即为最优执勤分配方案如下，最小总月通勤费用为：
343.20（元）
案例5.篮球队员选拔问题
某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表：
队员号码
身高（厘米）
月薪（元）
技术分
位置
1
185
2411
8.2
中锋
2
186
3000
9
中锋
3
192
2600
8.4
中锋
4
190
3500
9.5
中锋
5
182
2500
8.3
前锋
6
184
1800
8
前锋
7
188
2200
8.1
前锋
8
186
1900
7.8
后卫
9
190
2400
8.2
后卫
10
192
3200
9.2
后卫
队员的挑选要满足下面条件：
（1）至少补充一名中锋。
（2）至多补充2名后卫。
（3）1号和3号队员最多只能入选1个。
（4）平均身高要达到187厘米。
（5）技术分平均要求不低于8.4分。
由于经费有限，希望月薪总数越少越好。
试建立此问题的数学模型。
解：
依题意，建立0-1整数规划：
目标函数为：
约束为：
利用WinSQB建立模型求解：
综上，应该选拔第2，6，7，8，10号队员为正式队员，共需支付月薪12100（元）
案例6.工程项目选择问题
某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。
其中有五项住宅工程，三项工业车间。
由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。
有关数据见下表：
表1可供选择投标工程的有关数据统计
工程类型
预期利润/元
抹灰量/m2
混凝土量/m3
砌筑量/m3
住宅每项
50011
25000
280
4200
工业车间每项
80000
480
880
1800
企业尚有能力
108000
3680
13800
试建立此问题的数学模型。
解：
设承包商承包X1项住宅工程，X2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：
目标是获利最高，故得目标函数为
根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：
利用WinSQB建立模型求解：
综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Maxz=340022元。
案例7.高校教职工聘任问题（建摸）
各类人员承担的工作量、工资及所占比例如下表：
变量
承担的教学工作量
所占教师的百分比
年工资
本科生研究生
最大最小
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
y1
y2
y3
y4
y5
10
6学时/周0
120
90
90
60
30
03学时/周
——
63
63
33
03
03
——
7%—
7—
15—
5—
2—
1—
—1%
——
—21
—14
—23
2—
—2
3，000美元
3，000
8，000
13，000
15，000
17，000
2，000
30，000
4，000
13，000
15，000
17，000
2，000
30，000
由校方确定的各级决策目标为：
P1要求教师有一定的学术水平。
即：
要求75%的教师是专职的。
要求担任本科生教学工作的教师中，至少有40%的人具有博士学位。
要求担任研究生教学工作的教师中，至少有75%的人具有博士学位。
P2要求各类人员增加工资的总额不得超过176，000美元，其中x1、x2和x9增加的工资数为其原工资基数的6%，而其他人员为8%。
P3要求能完成学校的各项教学工作。
即学校计划招收本科生1，820名，研究生100名。
要求为本科生每周开课不低于910学时。
要求为研究生每周开课不低于100学时。
要求本科生教师与学生人数比为1：
20，即为本科生上课的教师数不超过1820/20=91人。
要求研究生教师与学生人数比为1：
10，即为研究生上课的教师数不超过100/10=10人。
P4设教师总数，要求各类教学人员有适当比例，如上表。
P5要求教师与行政管理职工之比不超过4：
1。
P6要求教师与助研x1之比不超过5：
1。
P7设所有人员总的年工资基数为1，850，000美元，要求其尽可能小。
试建立其目标规划的数学模型。
解：
依题意，建立目标规划模型：
案例8.电缆工程投资资金优化问题
有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点相连通。
图中的各线段标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：
百米）。
若电缆线每米10元，挖电缆沟（深1米，宽0.6米）土方每立方米3元，其它材料和施工费用每米5元，则该工程预算最少需多少元？
解：
该问题等价于求网络最小支撑树，利用WinSQB建立模型求解：
网络最小支撑树为上图加粗线路，所以按照加粗路线挖电缆沟能使工程预算最小，路线总长62米，
故最小预算为：
62*1*0.6*3+62*（10+5）=1041.6（元）
案例9.零件加工安排问题
已知有六台机床，六个零件；机床可加工零件；可加工零件；可加工零件；可加工零件；可加工零件；可加工零件；现在要求制定一个加工方案，使一台机床只加工一个零件，一个零件只在一台机床上加工，要求尽可能多地安排零件加工，试把这个问题化为求网络最大流问题，求出能满足上述条件的加工方案。
解:
增设起始点s，终点t,将加工过程化成网络流程（设每段弧上最大流量皆为1）：
则尽多安排加工的方案等价于求网络取得最大流时的路径。
利用WinSQB建立模型求解如下（点1~14分别表示点s，X1~X6，y1~y6，t）：
可以得到两种结果（如上），
综上，最佳加工方案为：
X1加工y1；X3加工y3；X4加工y2；X5加工y4；X6加工y5或
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