第21章 一元二次方程全章教案Word文件下载.docx

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0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；

经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；

经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；

方程解与实际问题解的区别．

教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

2．用配方法解一元二次方程的步骤．

3．解一元二次方程公式法的推导．

课时划分

本单元教学时间约需19课时，具体分配如下：

21．1一元二次方程2课时

21．2降次──解一元二次方程8课时

22．3实际问题与一元二次方程3课时

《一元二次方程》小结与复习2课时

《一元二次方程》单元测试4课时

第1课时一元二次方程

（1）

学习

目标

1、使学生了解一元二次方程的意义。

2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。

3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

学习重点

建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

学习难点

在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。

教学互动设计

设计意图

一、自主学习感受新知

学生活动：

列方程．

【问题1】问题《九章算术》“勾股”章有一题：

“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？

”

大意是说：

已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．

整理、化简，得：

__________．

问题

（1）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=1－x____，根据题意，得：

x2=1－x___．

整理得：

x2+x－1=0____．

【问题2】如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

【分析】设宽为x米，则列方程得：

（100-2x）（50-2x）=3600；

整理得x2-75x+350=0

【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【分析】全部比赛共4×

7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它（x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：

；

整理得x2-x-56=0③

鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型．

二、自主交流探究新知

【探究】

（1）上面三个方程左右两边是含未知数的整式（填“整式”“分式”“无理式”）；

（2）方程整理后含有一个未知数；

（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是二次。

【归纳】

1、一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。

所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－２ｘ2＋５＝０；

（２）x2＝１；

（３）5x2-2x-=x2-2x+；

（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；

（５）x2－２x＝x2＋１；

（６）ax2＋bx＋c＝０

主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念．

判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。

三、自主应用巩固新知

【例1】将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5（x+2）必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：

去括号，得：

3x2-3x=5x+10

移项合并同类项，得：

3x2-8x-10=0

其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。

【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；

一次项、一次项系数；

常数项．

【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

x2+2x+1+x2-4=1

2x2+2x-4=0

其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。

【例3】求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．

证明：

m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>

0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【练习】P412

进一步巩固一元二次方程的基本概念

四、自主总结拓展新知

1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。

2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。

五、课堂作业教材P4习题21．11、2

作业设计

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1B．p>

0C．p≠0D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？

2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？

为什么？

第2课时一元二次方程

（2）

1、会进行简单的一元二次方程的试解；

理解方程解的概念。

2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。

一元二次方程解的探索。

一元二次方程近似解的探索。

【问题1】把方程3x（x－1）=2（x+2）+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？

①x2+4x+=0②x2+3x－2=x2

③x2－2xy－3=0④ax2+bx+c=0

复习巩固一元二次方程的相关概念。

【探究】猜测方程的解是什么？

【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．

【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．

【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。

⑴x2-16=0⑵（x+3）（x-2）=0

⑶（x-2）2=49⑷x2-2x+1=25

【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题．

⑴∵x2-16=0⑵∵（x+3）（x-2）=0

∴x2=16∴x+3=0或x-2=0

∴x=±

4∴x=-3或x=2

⑶∵（x-2）2=49⑷∵x2-2x+1=25

∴x-2=±

7∴（x-1）2=25

∴x=9或x=-5∴x-1=±

5

∴x=6或x=-4

探究一元二次方程根的概念以及作用．

进一步巩固方程的根的含义．

方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根．

【例1】若x＝2是方程的一个根，你能求出a的