18版高中数学第三章空间向量与立体几何314空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修21Word格式文档下载.docx

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λa

数量积

a·

b

知识点三　空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则

名称

满足条件

向量表示形式

坐标表示形式

a∥b

a＝λb（λ∈R）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）

a⊥b

b＝0

模

|a|＝________

夹角

cos〈a，b〉＝

类型一　空间向量的坐标表示与运算

命题角度1　空间向量的坐标表示

例1　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．

（1），，；

（2），，.

引申探究

本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．　

反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤

跟踪训练1　已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则在基底{a，b，c}下的坐标为________．

命题角度2　空间向量的坐标运算

例2　已知a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则b等于（　　）

A．（2，－4，2）B．（－2，4，－2）

C．（－2，0，－2）D．（2，1，－3）

反思与感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题

（1）直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．

（2）由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．

跟踪训练2　若向量a＝（1，1，x），b＝（1，2，1），c＝（1，1，1），且满足条件（c－a）·

（2b）＝－2，则x＝________.

类型二　空间向量平行、垂直的坐标表示

例3　已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.

（1）若|c|＝3，c∥.求c；

（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.

若将本例

（2）中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．　

反思与感悟　

（1）平行与垂直的判断

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.

（2）平行与垂直的应用

①适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a＝λb），建立关于参数的方程．

②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

跟踪训练3　在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．

证明：

（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；

（2）A1G⊥平面EFD.

类型三　空间向量的夹角与长度的计算

例4　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

（1）求证：

EF⊥CF；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求CE的长．

反思与感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．

跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°

，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°

.

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

1．已知向量a＝（3，－2，1），b＝（－2，4，0），则4a＋2b等于（　　）

A．（16，0，4）B．（8，－16，4）

C．（8，16，4）D．（8，0，4）

2．若a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，2，2），则a·

（b＋c）的值为（　　）

A．4B．15C．3D．7

3．已知a＝（2，－3，1），则下列向量中与a平行的是（　　）

A．（1，1，1）B．（－4，6，－2）

C．（2，－3，5）D．（－2，－3，5）

4．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（　　）

A．1B.C.D.

5．已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为________．

1．在空间直角坐标系中，已知点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1）．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

2．两点间的距离公式：

若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），

则|AB|＝||＝

＝.

3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．

提醒：

完成作业　第三章　3.1.4

答案精析

问题导学

知识点一

思考　在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是点A的坐标，即若＝（x，y），则A点坐标为（x，y），反之亦成立（O是坐标原点）．

梳理　

（1）单位正交基底　坐标向量　

（2）坐标　（a1，a2，a3）

知识点二

思考　m＋n＝（x1＋x2，y1＋y2），m－n＝（x1－x2，y1－y2），λm＝（λx1，λy1），m·

n＝x1x2＋y1y2.

梳理　（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　（λa1，λa2，λa3）　a1b1＋a2b2＋a3b3

知识点三

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　

|a|＝

题型探究

例1　解　

（1）＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，

＝＋＋＝＋＋＝.

（2）＝－＝（＋＋）－（＋）＝＋＝，

＝－＝（＋）－（＋）

＝－－

＝，

＝－＝＋－

＝－＝（1，－，0）．

解　＝＋＝－＋

＝（－1，0，），

＝＋＝＋（－）

＝－＋＝（－，1，0），

＝＋＝（0，，）．

跟踪训练1　

例2　A　[依题意，得b＝a－（－1，2，－1）＝a＋（1，－2，1）＝2（1，－2，1）＝（2，－4，2）．]

跟踪训练2　2

例3　解　

（1）因为＝（－2，－1，2），

且c∥，

所以设c＝λ＝（－2λ，－λ，2λ），

得|c|＝

＝3|λ|＝3，

解得λ＝±

1.即c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）．

（2）因为a＝＝（1，1，0），

b＝＝（－1，0，2），

所以ka＋b＝（k－1，k，2），

ka－2b＝（k＋2，k，－4）．

又因为（ka＋b）⊥（ka－2b），

所以（ka＋b）·

（ka－2b）＝0.

即（k－1，k，2）·

（k＋2，k，－4）

＝2k2＋k－10＝0.

解得k＝2或k＝－.

解　由题意知ka－b＝（k＋1，k，－2），

ka＋2b＝（k－2，k，4），

∵（ka－b）⊥（ka＋2b），

∴（ka－b）·

（ka＋2b）＝0，

即（k＋1）（k－2）＋k2－8＝0，

解得k＝－2或k＝，

故所求k的值为－2或.

跟踪训练3　证明　如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），

B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），由中点性质得E，F，

G，H.

（1）＝（1，0，1），＝，

∵＝2，·

＝1×

＋0＋1×

＝0，

∴∥，⊥.即AB1∥GE，AB1⊥EH.

（2）∵＝，

∴·

＝－＋0＝0，

·

＝＋0－＝0，

∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.

又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.

例4　解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则

D（0，0，0），E，C（0，1，0），

F，G.

所以＝，＝，＝，＝.

（1）证明　因为·

＝×

＋×

0＝0，

所以⊥，即EF⊥CF.

（2）因为·

1＋×

0＋（－）×

||＝＝，

所以cos〈，〉＝

＝＝.

（3）|CE|＝||

跟踪训练4　解　

（1）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°

，

∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD

2×

2＝2.

在Rt△POB中，∠PBO＝60°

∴PO＝OB·

tan60°

∴VP-ABCD＝S菱形ABCD·

PO

＝2.

（2）如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B（1，0，0），

C（0，，0），D（－1，0，0），

A（0，－，0），P（0，0，）．

∴E，∴＝，

＝0＋0＋×

（－）＝－，

||＝，||＝.

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∵异面直线所成的角为锐角或直角，

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

当堂训练

1．D　2.C　3.B　4.D　5.