届北京市东城区高三下学期综合练习二文科数学试Word文档格式.docx

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（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输

出的结果为0时，输入的值为

（A）或

（B）或

（C）或

（D）或

（4）设等差数列的前项和为，若，则的值是

（A）（B）

（C）（D）

（5）已知，那么的值是

（C）（D）

（6）已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是

（7）已知点，，，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是

（8）对任意实数，定义运算“⊙”：

设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）函数的定义域是．

（10）已知平面向量，，且∥，则．

（11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．

（12）已知数列的前项和为,且对任意,有，则；

．

（13）过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．

（14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，

①若，则满足条件的点的个数为________；

②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：

g/km）．

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．

（Ⅰ）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？

（Ⅱ）求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，°

，平面平面，，分别为，中点．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

（18）（本小题共13分）

已知，函数，．

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直，求，的值；

（Ⅱ）设，若对任意的，且，都有，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，求△面积的最大值.

（20）（本小题共14分）

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：

是自然数，（，）．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）若，求证：

（Ⅲ）求证：

存在，使得．

东城区2013-2014学年度第二学期综合练习

（二）

高三数学参考答案及评分标准（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B

（2）A（3）C（4）C

（5）B（6）D（7）A（8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）

（11）（12）

（13）（14）

注：

两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）

　　　　　　．

所以．…………………7分

（Ⅱ）当时，．

所以，当时，即时，函数取得最小值；

当时，即时，函数取得最大值．…………………13分

（16）（共13分）

（Ⅰ）从被检测的辆甲品牌的轻型汽车中任取辆，

共有种不同的二氧化碳排放量结果：

，，，，，

，，，，．

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过”为事件，

则事件包含以下种不同的结果：

，，，，，，．

所以．

即至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率为．………………6分

（Ⅱ）由题可知，，所以，解得．

，

因为

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．　　　　………………13分

（17）（共14分）

（Ⅰ）因为，分别为，中点，

所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面.…………………4分

（Ⅱ）连结，

因为∥，又°

所以.

又，为中点，

所以平面，

所以.…………………9分

（Ⅲ）因为平面平面，

有，

所以.…………14分

（18）（共13分）

（Ⅰ），．

，．

依题意有，

可得，解得，或．　　　　……………６分

（Ⅱ）．

　　　不妨设，

则等价于，

即．

　　　设，

则对任意的，且，都有，

等价于在是增函数．

　　　，

　　　可得，

　　　依题意有，对任意，有．

由，可得．……………13分

（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有，．

可得，．

　　　　故椭圆方程为．………………………………………………５分

（Ⅱ）直线的方程为．

　　　联立方程组

　　　消去并整理得．（*）

　　　设，．

故，．

不妨设，显然均小于．

则，

．

等号成立时，可得，此时方程（*）为，满足．

所以面积的最大值为．………………………………13分

（20）（共14分）

（Ⅰ）；

　．……………5分

（Ⅱ）假设是一个位数（），

　　　　　那么可以设，

其中且（），且．

由可得，．

所以．

因为，所以．

而，

所以，即．……………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当时，．

同理当时，．

若不存在，使得．

则对任意的，有，总有．

可得．

　　　取，则，与矛盾．

存在，使得．……………14分