费马点证明_精品文档Word文档下载推荐.doc

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（1）若三角形ABC的3个内角均小于120°

，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。

所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

费马点的判定

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

费马点的计算

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°

，这个内角的顶点就是费马点；

如果3个内角均小于120°

，则在三角形内部对3边张角均为120°

的点，是三角形的费马点。

证明

　　我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形

（1）费马点对边的张角为120度。

　　△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

　　△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

　　同理可得∠CBP=∠CA1P

　　由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

　　同理,∠APB=120度，∠APC=120度

（2）PA+PB+PC=AA1

　　将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

　　又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

　　又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

　　（3）PA+PB+PC最短

　　在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G（同上），则AA1<

A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。

费马点性质：

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距

离之和最小。

（2）三内角皆小于120°

的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角

形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求

的费马点.

（3）.若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

（4）当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合