费马点证明_精品文档Word文档下载推荐.doc

1、（1）若三角形ABC的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。费马点的判定（1）对于任意三角形ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形（1）费马点对边的张角为120度。CC1B和AA1B中,BC=BA1,BA=BC

2、1,CBC1=B+60度=ABA1, CC1B和AA1B是全等三角形,得到PCB=PA1B 同理可得CBP=CA1P 由PA1B+CA1P=60度，得PCB+CBP=60度,所以CPB=120度 同理,APB=120度，APC=120度 （2）PA+PB+PC=AA1 将BPC以点B为旋转中心旋转60度与BDA1重合，连结PD，则PDB为等边三角形，所以BPD=60度 又BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上， 又CPB=A1DB=120度，PDB=60度，PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。（3）PA+PB+PC最短 在ABC内任意

3、取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将BMC以点B为旋转中心旋转60度与BGA1重合，连结AM、GM、A1G（同上），则AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。费马点性质：（1）平面内一点P到ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距 离之和最小。（2） 三内角皆小于120的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角 形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求 的费马点. （3）.若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求. （4）当ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合