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（3）约束条件：

线性的等式或者不等式。

2005/05,-第3章线性规划-,-5-,2.线性规划问题的一般表示方法,maxz=c1x1+c2x2+cnxnst.a11x1+a12x2+a1nxnb1a21x1+a22x2+a2nxnb2am1x1+am2x2+amnxnbmx1,x2,xn0st.-subjectto,线性规划LP,2005/05,-第3章线性规划-,-6-,其中：

cj-表示目标函数系数aij-表示约束条件系数bi-表示约束右端项为已知参数。

2005/05,-第3章线性规划-,-7-,3.3线性规划模型的应用领域概述,生产计划、优化排产合理用料投资优化、投资组合、证券外汇市场财务计划、资金调度排班计划物资配送ERP应用核心问题：

解决有限资源的合理分配,2005/05,-第3章线性规划-,-8-,3.4简单线性规划模型应用介绍,用LP方法解决管理问题，核心在于构建模型建模步骤如下：

（2）具体构造模型：

选择合适的决策变量、确定目标函数的表达式、约束条件的表达式，分析各变量取值的符号限制。

（1）分析问题：

确定决策内容、要实现的目标以及所受到的限制条件。

2005/05,-第3章线性规划-,-9-,例1：

购买方案制定某工厂在生产过程中需要使用浓度为80%的硫酸1000吨，而市面上只有浓度为35%，45%，73%，85%，92%的硫酸出售，每吨的价格分别为400、700、1400、1900和2500元。

问：

采用怎样的购买方案，才能使所需总费用最小？

2005/05,-第3章线性规划-,-10-,模型：

设第j种硫酸需购买xj吨，则,Minz=400x1+700x2+1400x3+1900x4+2500x5st.x1+x2+x3+x4+x5=100035x1+45x2+73x3+85x4+92x5=100080x10,x20,x30,x40,x50,2005/05,-第3章线性规划-,-11-,例2：

合理下料问题：

要制作1000套钢筋架子，每套含2.9米、2.1米、1.5米的钢筋各一根。

已知原料长7.4米，问：

如何下料，使用料最省？

方案,下料数,长度,2.9米2.1米1.5米,1212213123,合计（米）,7.47.37.27.16.6,料头（米）,00.10.20.30.8,2005/05,-第3章线性规划-,-12-,模型:

设xj为第j种方案用料的数量,则,Minz=0x1+0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5st.x1+2x2+x4=10002x3+2x4+x5=10003x1+x2+2x3+3x5=1000xj0,（j=1,2,-,5）,2005/05,-第3章线性规划-,-13-,例3：

投资选择设有下面四个投资机会：

甲：

在三年内，投资人应在每年年初投资，每年每元投资可获利0.2元，每年取息后可重新将本息用于投资。

乙：

在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利0.5元，两年后取息，取息后可重新将本息用于投资。

这种投资最多不得超过200,000元。

丙：

在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元投资可获利0.6元。

这种投资最多不得超过150,000元。

丁：

在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年后每元投资可获利0.4元。

这种投资最多不得超过100,000元。

假定开始有300,000元资金可供投资使用，问：

采取怎样的投资计划，才能在第三年年底获得最大收益？

2005/05,-第3章线性规划-,-14-,模型：

设xij第i年投资于第j项目上的资金量，则,st.x11+x12300,000x12200,000x21+x23300,000x12+0.2x11x23150,000x31+x34300,000x23+0.2（x11+x21）+0.5x12x34100,000xij0,（i=1,2,3;

j=1,2,3,4）,x11,x12,x21,x23,x31,x34,1,2,3,4,300,000,Maxz=0.2（x11+x21+x31）+0.5x12+0.6x23+0.4x34,2005/05,-第3章线性规划-,-15-,例4：

排班问题一家昼夜服务的大饭店，24小时中需要的服务员数如下表所示。

每个服务员每天连续工作8小时，且在时段开始时上班。

最少需要多少名服务员？

试建立该问题的线性规划模型。

2005/05,-第3章线性规划-,-16-,模型：

设xj第j时段开始上班工作的服务员数，则,st.x6+x140x1+x280x2+x3100x3+x470x4+x5120x5+x640xj0（j=1,2,-,6）,Minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6,2005/05,-第3章线性规划-,-17-,例5：

物资调运问题,某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。

已知每天各自的生产量、销售量及调运时的单位运输费用情况。

如何调运可使总费用最小？

生产量：

A17吨，A24吨，A39吨销售量：

B13吨，B26吨，B35吨，B46吨,产地,单位运价,销地,B1B2B3B4,A1,A2,A3,311310,1928,74105,2005/05,-第3章线性规划-,-18-,此类问题模型被称为运输模型,Transportationproblem,2005/05,-第3章线性规划-,-19-,调运示意图,A1,A2,A3,B1,B2,B3,B4,7吨,4吨,9吨,3吨,6吨,5吨,6吨,x11,x12,x13,x14,x21,x22,x23,x24,x31,x32,x33,x34,产地,销地,2005/05,-第3章线性规划-,-20-,模型,设xij第i产地到第j销地之间的调运量，,Minz=cijxij,3,4,i=1,j=1,x11+x12+x13+x14=7,x11+x21+x31=3,xij0,（i=1,2,3；

j=1,2,4）,产量限制,销量限制,x21+x22+x23+x24=4,x31+x32+x33+x34=9,x12+x22+x32=6,x13+x23+x33=5,x14+x24+x34=6,cij第i产地到第j销地之间的调运价格，则有,2005/05,-第3章线性规划-,-21-,建立线性规划模型要求：

（1）要求决策的量是连续的、可控的量，或者是可以简化为连续取值的变量；

（2）要求所解决的问题的目标可用数值指标描述，并且能表示成线性函数；

（3）存在着多种决策方案可供选择；

（4）决策所受到的限制条件可用线性的等式或者不等式表示。

2005/05,-第3章线性规划-,-22-,复习思考题：

1.什么是线性规划模型？

它有哪些要求？

2.能写出线性规划模型的一般表示式吗？

3.LP模型中目标函数系数、约束条件系数、约束右端项的含义指的是什么？

4.你对线性规划模型是否有一个初步的了解？

2005/05,-第3章线性规划-,-23-,3.5求解线性规划模型的简明原理,

（1）可行解：

满足所有约束方程和变量符号限制条件的一组变量的取值。

（2）可行域：

全部可行解的集合称为可行域。

（3）最优解：

使目标函数达到最优值的可行解。

1.基本概念,2005/05,-第3章线性规划-,-24-,2.求解方法,*利用作图方法求解。

例：

maxz=2x1+3x2s.t2x1+2x212-x1+2x28-4x116-4x212-x10,x20,2005/05,-第3章线性规划-,-25-,x1,x2,2,2,4,6,8,4,6,0,Z=6,Z=0,（4,2）,zmax,2005/05,-第3章线性规划-,-26-,讨论一：

模型求解时，可得到如下几种解的状况：

（1）唯一最优解：

只有一点为最优解点，简称唯一解；

（2）无穷多最优解：

有许多点为最优解点，简称无穷多解；

（3）无界最优解：

最优解取值无界，简称无界解；

（4）无可行解：

无可行域，模型约束条件矛盾。

讨论二：

LP模型求解思路：

（1）若LP模型可行域存在，则为一凸形集合；

（2）若LP模型最优解存在，则其应在其可行域顶点上找到；

2005/05,-第3章线性规划-,-27-,A,A,B,唯一解,无穷多解,无界解,无可行解,2005/05,-第3章线性规划-,-28-,复习思考题：

1.LP模型的可行域是否一定存在?

2.图解中如何去判断模型有唯一解、无穷多解、无界解和无可行解？

3.LP模型的可行域的顶点有什么重要意义？

4.如果把所有的顶点都找出来，再计算各顶点目标函数值，能否求出最优解？

为什么？

2005/05,-第3章线性规划-,-29-,3.6单纯形法及程序求解简介（SimplexMethod）,1947年，丹捷格（GeorgeDantzig）提出求解LP模型的单纯形法（simplexmethod），使LP模型求解问题得以很好解决。

电子计算机性能提高，使大规模线性规划模型求解成为可能，从而推动了模型方法的广泛应用。

电子表格软件包（spreadsheetsoftwarepackages）出现，又使得这种方法广泛应用于日常管理之中。

2005/05,-第3章线性规划-,-30-,单纯形法（simplexmethod）运用顶点搜索原理，寻找最优解应用程序规划求解SolverforExcel电子表格（spreadsheet）程序LINDOLINDO公司开发，用于个人机，教学，商用WhatsBest!

forLOTUS1-2-3类似规划求解（Solver）程序，windows平台,2005/05,-第3章线性规划-,-31-,x1,x2,2,2,4,6,8,4,6,0,2005/05,-第3章线性规划-,-32-,3.7LP模型应用案例,例1:

泰和玩具公司,预计2000年里公司的月现金流量如表中所示。

负的现金流量表示流出的现金超过流入的现金。

为应付它的债务，公司需要在年内提早借款。

该公司可有两种借款方式：

（1）可在1月份贷到所需要的一年期的长期贷款，从2000年2月份开始,每月需为这笔贷款支付1%的利息,贷款本金必须在2001年1月初归还。

（2）公司还可获得短期的银行贷款，月利率为1.5%，公司需在下一个月里归还上一个月初的短期贷款本金与利息，2000年12月份的短期贷款在2001年1月初归还。

在每月末，现金余额可获得0.4%的利息。

如何制定借款计划，可使公司在2001年1月初获得最大的现金余额？

2005/05,-第3章线性规划-,-33-,应解决的问题:

长期贷款的数量（L）每月短期贷款的数量（St）每月月末的现金余额（Cbt）期间最后的现金余额（2001年初现金余额）（Cb13）每月所付的长期与短期的贷款利息