从能带理论到光子晶体_精品文档Word文档格式.docx

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其周期型结构使得入射光发生色散现象。

其中某些波长的入射光将不可能在其中传播。

研究光子晶体理论的方法有多种，其中最早的是有效折射率法，最经典的是平面波法，但是核心都在于解释光子晶体的周期性结构以及光子禁带的形成。

按照空间结构光子晶体的制备分为一维光子晶体和二维、三维光子晶体的制备。

制备方法各有不同。

光子晶体的特性包括在能带内部的可能使物质达到的负折射率，能带边缘的超棱镜效应，以及能带间隙的禁带效应等等。

每一种特性对应着许多方面的应用，因此光子晶体很可能成为21世纪非常重要的研究课题。

Abstract

PhotonicCrystal,whoseexistenceisbasedonthetheorysimilartotheEnergybandtheory,hasbeenbecomingincreasinglyawell-developingissueforresearch.Itsperiodicalstructurecausesthedispersionamongdifferentlightwaves,someofwhichwillnotbepropagatedinthiskindofcrystal.Thereareseveraltheoriestoexplainthefeatureofthephotoniccrystal.ThemethodofEffectiveIndexofRefractionTheoryandtheplain-wavemethodarementionedindetailinthisreview,whicharethemostrepresentativetoclearouttheperiodicstructureofphotoniccrystal,andtheemergenceoftheOpticsBandGap.Therearealsoseveralconvenientmeanstopreparethemulti-dimensioncrystals.photoniccrystalwillbeusedcommonlyinthreedifferentways,thenegativeindexofrefractionwhichemergedfromtheenergybandinside,thesuperlensingeffortsinventedontheedgeoftheband,andthelightgateusingthebandgap.Hence,thephotoniccrystalhasthepotentialtobeexploredbytheresearchers.

关键词：

能带理论光子晶体有效折射率光学特性制备

7

目录

摘要

1. 从能带理论到光子晶体 1

2. 光子晶体的原理表示 1

2.1有效折射率理论 1

2.2平面波法 3

2.3时域有限差分法 3

2.4多极法 4

3. 光子晶体的特性描述 4

3.1光子晶体能带带内特性——色散效应导致负折射率 4

3.2光子晶体能带带边特性 5

4. 光子晶体的制备方法 5

4.1微加工方法 6

4.2全息光刻方法 6

4.3胶体晶体自组装方法 6

4.4双光子聚合方法 6

5. 光子晶体的潜在应用 7

应用1 7

应用2 7

应用3 8

应用4 8

6. 总结 8

7. 参考文献 7

1.从能带理论到光子晶体

光子晶体，根据全国科学技术名词审定委员会的定义，是在介电常数（折射率）随光波长大小周期性巨大变化的人工晶体。

光子晶体是相对于电子晶体而言，它们具有共同的理论基础：

晶体的能带理论。

能带理论把一切晶体看成一个大“分子”，分子由许许多多个原子组成。

由于原子之间的成键作用，多个原子，同一原子能级的电子轨道发生重叠、杂化，产成许多能量相差极小能级。

几乎连续的能级形成能带，电子按泡利不相容原理和能量最低原理依次填入能带之中。

最终形成了晶体的稳定结构。

我们按照能量大小顺序排列能带，可以形成一张能带排布图（如下所示）。

我们不关心电子在上面如何排布，但是我们知道电子一定不可能存在于两条能带之间的A区域，这个处在两能带之间的区域是电子的禁区，于是被称为电子的禁带。

能带理论最成功之处在于解释晶体的导电性。

根据禁带宽度的不同以及电子排布，可以把晶体分为导体、半导体及绝缘体。

如果电子未充满某一能带，晶体将表现为晶格原子被“电子海洋”所笼罩，这就是典型的导体——金属晶体的导电性来源。

如果能带表现为全满或全空，但是禁带非常宽，晶体电子便非常不容易被激发，表现为绝缘体的性质。

显然，如果禁带不是很宽，晶体电子便可能在被赋予能量的前提下穿越禁带，达到上一个能带，使上一个能带成为不完全充满的能带。

这种现象在宏观世界中的表现，就是绝缘材料在某些条件之下（高温、压力、光照）具备了良好的导电性，而这种材料通常被称为半导体。

由上述理论可以说明，电子也受到晶格的影响而改变其行进方式，表现为电子轨道的改变。

相应地，光子会受到光子晶体“晶格”的影响，引起许多令人振奋的现象。

2.光子晶体的原理表示

和电子晶体相似，光子晶体的第一个作用是引起入射光的能量发生重新分配，激发散射现象。

分析这种散射现象的方法很多，包括有效折射率法、有限元法、矢量边界元素法、时域有限差分法、平面波展开法、全矢量法、超格子法、多重散射法、边界元法等等。

2.1 有效折射率法[1]

限于作者的数学物理水平，这里仅对有效折射率法进行讨论。

但是其他方法也不是一笔带过，我们要进行一些比较。

这里以一维晶体为突破口。

一般说来，色散特性是指介质的折射率随频率变化的关系．为了描述光子晶体这种特殊结构材料的色散关系，这里引入“有效折射率”的概念．对于有限长度、一维光子晶体的色散特性，先从复透射系数开始，设复透射系数为

tω=χω+iyω=Te-i∅①

式中，

∅t=arctanyχ±

mπ②

∅t是光透过介质传播时，总的相位移动。

复透射率t（ω）可以用传输矩阵的方法计算。

∅t这个参量包含了分层介质结构的所有的信息，如各层介质的折射率、各层的厚度、总的层数等等．整数m的选取应使∅t（ω）是单调递增函数，并且当ω→0时，m=0．

仿照光在均匀介质中的传播，可以把透射场中总的相位积累表示为

∅t=KωD=ωcneffωD③

式中，D是一维光子晶体总的几何长度，c是真空中的光速，Kω是有效波矢，而neff（ω）是与晶体结构有关的有效折射率。

根据能带理论的原理表述，在某些频率范围内的光子不能在光子晶体中传播．因此，光子晶体的有效折射率应该是复数，并且在光子禁带有很大的虚部分量，以至于在光子禁带有接近100%的散射衰减，或者光被全部反射，形成消散场模式。

根据复透射系数的表达式①，t=elnTei∅1=ei∅=x+iy，因此i∅=i∅t+lnT。

我们假定单位振幅的入射光场衰减了e-γD，其中γ=ωcni

因此，

T=t=e-γD=e-ωcniD

lnT=-ωcniD=i（∅-∅t）

令

i∅=i（ωc-1neffD）

neff被称为复有效折射率，其表达式根据上述推导可知为

neff=cωD∅t-12lnx2+y2i ⑤

在光子透射带，x2+y2=1，负折射率虚部为0

在光子禁带，T≪1，此时复有效折射率neff就能很好的描述光在光子晶体中的传播行为。

可以把复有效折射率定义为真空中的光速，与光在介质中的有效相位速度ωK（ω）的比值。

其中Kω=ωcneff，称为复有效波矢。

所以，式⑤很好地表达了光子晶体一般的色散关系。

以上思路是从光的复透射系数入手，根据禁带现象，经过合理的光衰减假设得到“有效波矢”和“有效折射率”的表达式。

等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把光子晶体等效为传统的阶跃折射率光纤。

因此应用具有一定的局限性。

2.2 平面波法[2]

平面波法是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。

它应用Bloch定理在固体物理学中，布洛赫波（Blochwave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Blochstate），由一个平面波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。

其中与势场具有相同周期性。

布洛赫波的具体形式为：

ψr=e-ik∙ru（r）

式中k为波矢。

上式表达的波函数称为布洛赫函数。

当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

ψr+Rn=eik∙Rnψr

这一结论称为布洛赫定理（Bloch'

stheorem），其中为晶格周期矢量。

可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

，将电磁波在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开；

将Maxwell方程组化成本征方程，然后求解得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。

这种方法的优点：

思路清晰，易于编程；

缺点是计算精度和计算量决定于平面波的数量，尤其是当结构复杂且有缺陷时使用的平面波数量太多，计算量太大而无法完成。

当介电常数非恒定时，没有一个明确的本征方程，展开时可能发散，根本无解。

2.3 时域有限差分法

时域有限差分法主要用于电磁场计算，亦可用来解决光子晶体中的电磁场问题并且取得了成功。

用时域有限差分法来求解Maxwell方程的主要步骤是:

1）将Maxwell方程分解成6个分量的标量方程;

2）将空间沿轴向分割为Δx，Δy，Δz表示的小单元—Yee格点，Δt为时间变元，则时空点用（iΔx，jΔy，kΔz，nΔt）表示，简单地用（i，j，k，n）表示;

3）用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，精确到二阶。

如此就可以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur边界条件，使求解的有限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征，无明显反射，不会引起内部空间场的畸变。

这样处理后就可求解Maxwell方程了。

对于二维光子晶体的理论研究，FDTD方法有以下优点:

（1）它可以处理任意几何形状和复杂媒质的光子晶体。

（2）它能够实时再现场的空间分布，精确模拟出光在光子晶体中的传输行为。

（3）它可以通过一次时域分析计算，借助傅立叶变换可以计算出很大频率范围的结果。

（4）操作时间短。

它的缺点是计算量大，对计算机的性能要求比较高。

2.4　多极法

多极法是一种较新的数值计算方法,最早由White和Kuhlmey等人提出,适合于快速计算由圆柱形空气