必修一第二章一元二次函数方程和不等式全章讲解训练含答案Word文件下载.docx
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八ab
c<
0=>
一<
—.
cc
性质5可力口法贝a>
b,c>
d=>
a+c>
b+d；
性质6可乘法贝lj：
a>
b>
0,c>
d>
0=ac>
bd>
0；
性质7可乘方性：
h>
0（nwN'
）=>
a”>
〃〃>
0：
可开方性：
4>
〃>
0,£
1<
且〃>
1）=必7>
窈.
要点诠释：
不等式的性质是不等式同解变形的依据.
二、比较两代数式大小的方法
作差法：
L任意两个代数式,八方，可以作差后比较〃与0的关系，进一步比较“与。
的大小.
：
②=；
③a-b=0=a=b.
作商法：
任意两个值为正的代数式a、〃，可以作商a+人后比较色与1的关系，进一步比较“与〃的大小.h
（1>
1n>
/>
:
②—<
1<
n<
Z>
③❷=lQa=b・
bbb
若代数式“、/，都为负数，也可以用作商法.
中间量法：
若两个代数式“、〃不容易直接判断大小，可引入第三个量。
分别与“、乍比较，若满足〃且〃>
c,则U>
c.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.
三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
设〃”=<
谓+法+。
（“>
0）,判别式A=/『—4ac,按照△>
（）,△=（）,△<
（）该函数图象（抛物线）与x轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同.如下表所示：
I
△=—4<
/c
A>
A=0
A<
函数y=
的图象
『/三
利0X2
u
0花才2»
k
方程/（x）=0
的解
有两相异实根
菁,w（±
<
X2）
有两相等实根b…二一百
无实根
不等式.f（x）>
的解集
{,中<
为或¥
>
&
}
2a
•
R
不等式/（“<
{x\x}<
X<
X2}
要点诠释:
（1）一元二次方程办2+以+。
=0（。
=0）的两根X、&
是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线），=
IIX2++c与X轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决：
（3）解集分A>
O,A=O0vO三种情况，得到一元二次不等式〃犬+法+c>
0与ad+Zu+cvO的解集.
四、解一元二次不等式
1.解一元二次不等式“x'
+6x+c>
0（。
W0）的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数:
（2）写出相应的方程”/+队+。
=0（〃>
0）,计算判别式△:
①4>
0时，求出两根为、与，且王<
%（注意灵活运用因式分解和配方法）;
②△=（）时，求根玉=占=一之
③△<
（）时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.五、基本不等式
1.对公式+/?
2>
2,活及胃>
瓢的理解.
（1）成立的条件是不同的：
前者只要求。
力都是实数，而后者要求4泊都是正数：
（2）取等号“二”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当。
=8时取等号”.
2.由公式22,而和上辿之Q可以引申出常用的常用结论2
①2+（〃力同号）；
ab
②2+色《一2（a力异号）；
ah
③"
-<
4^^<
J'
。
"
'
-（a>
0力>
0）或"
4（-^^）2<
"
「"
%>
0./?
0）J12V222
一十一ab
/+〃之2ab可以变形为：
岫《匚士，匕2之"
可以变形为：
ab<
（―）2.222
六、用基本不等式求最大（小）值2
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：
一正二定三取等.①一正：
函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：
函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值：
③三取等：
函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
1.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；
若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则'
和"
有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
2.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数：
②和（或枳）为定值；
③各项能取得相等的值.
【典型例题】
类型一不等式性质
例1.对于实数a，b,c判断以下说法的对错.
（1）若a>
〃，则ac<
权，；
（2）若ac2>
be2,贝lja>
〃；
（3）若a<
〃<
0，则a?
〉"
〉//:
（4）若a<
b<
0，则同>
问:
（5）若a>
〃，->
—♦则a>
0,b<
0.
举一反三：
【变式1】如果a<
bV0,那么下列不等式成立的是（）
A.—<
C—B.a+c<
b+cC.a-c>
b-cD.aec<
b#cab
例2、比较下列两代数式的大小：
（1）（x+5）*+9）与*+7）2：
【变式1】比较V+2x与1+2的大小
【变式2］已知4>
/2>
0,则七二—（填>
<
=）
er+Z?
-a+b
类型二解二次不等式
例3.解下列一元二次不等式
f+21r>
0
【变式1】已知函数/"
）=，'
一'
解不等式f（x）>
3.
+2a\x<
x-KO
【变式2】不等式组.的解集为（）
1—3/0
A.{x—1<
-y<
1}B.{x0<
-rC3}C.{x0<
-v<
1}D.{x_K-K3）
【变式3】下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（）
x
A.（…，-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,+oo）
例4.不等式x2+m<
0的解集为xe（4,5），求关于x的不等式〃/+"
次一1>
0的解集.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点,根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
【变式1】不等式ax2+bx+12>
0的解集为{x：
-3<
x<
2},则a二.b二.
【变式2］已知关于％的不等式W+or+OvO的解集为（1,2）,求x的不等式"
？
+取+1>
【变式3】若关于x的不等式ot2-6x+/<
0的解集为（1,机），则实数m等于.
【变式4］已知关于x的不等式d+6丫+。
0的解集为{x*—1或x>
2},则炉+02=（）
A.5B.4C.1D,2
例5.已知不等式a/+4x+a>
l—2f对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【变式1】不等式mx41>
mx的解集为实数集R,求实数m的取值范围.
【变式2】关于*的不等式（l+ad+a+ZJ+l对x£
R恒成立，则实数力的取值范围是（）
f3（4、
A.（—8,0）B.（-8,0）U—,+<
oC.（—8,o］D.（—8,o］U——，+oo
413,
【变式3］如果月={x——小+1<
0）=。
，则实数a的取值范围是.
例6.解关于x的含参不等式
（1）x:
-（a+l）x+a<
举一反三:
【变式1】若ovevi,则不等式（工一。
（工一!
）〈0的解集为（
D.\x\t<
-【变式2】不等式£
一由一6£
0（水0）的解集为（
A.（-8,-2a）U（3a,+°
°
）B.（-2a,3a）C.（—°
»
3a）U（2a,+°
）D.（3a,~2a）
【变式3】求不等式123—的解集.
类型三基本不等式
9
例1.若x>
0,求f（x）=4x+—的最小值.x
【变式1】已知X、y都是正数，"
卞最小值为
2
【变式2】己知式玄）二"
交相£
可*），则f（X）在定义域上的最小值为（）
A.容B.孕C.\［33D.2V33
52
【变式3］当x>
4时，不等式行_红2加恒成立，则必的取值范围是（）
x-4
A.B.0V8C.D.m>
8
例2.已知x>
-2,则x+«
S的最小值为（）
A・-gB・-1C.2D.0
4
【变式1］己知。
3,求证：
——+a>
7a—3
【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
例3.已知x>
0,y>
0,x+yW^=2,则x+y的最小值是（）
【变式1］已知a>
0,6>
0,且满足a6=-3,则a+6的最小值是（）
9Q
【变式2】若x>
0,），>
0,且士+2=1,求冲的最小值.xy
例4.“1”的代换
己知二1求的最小值
【变式1］设a>
0,b>
0,若a+b=l,则工J的最小值为（）
A.4B.8C.1D.—
【变式2］己知x>
0,且2x+y=l,则'
+1的最小值为xy
【变式3】若正数x,y满足则3x+4y的最小值是（）
yx
A.24B.28C.25D.26
【巩固练习】
1.不等式ax'
+5x+c>
0的解集为*则a,c的值为（）
32
A.a=6,c=lB.a=-6,c=-1C.a=Lc=lD.a=-1,c=-6
2.不等式中一ax-b<
0的解集是{x2<
3}»
则bx二一ax—1>
0的解集是（）
A.{xl2<
3|B.{xIi<
i）C.{xl-；
vxv-；
}D.{xl-3<
-2}
3.如果aJ+6x+c>
0的解集为{x|/一2或x>
4},那么对于函数f（x）=&
f+6x+c有（）
A.A5）<
/
（2）<
f（-l）B.r
（2）<
/（5）<
/（-1）C.r
（2）<
/（-l）<
f（5）D./（-l）<
f
（2）<
/（5）
x+2,
4.已知函数f（x）=,n八，则不等式f（x）2/的解集为（）
[-x+2,x>
A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]
5.已知x>
0,则的最小值是（）
A.4B.3C.2D.1
6.当xV-1时，£
（x）=户」-的最大值为.
x+1
9V—R
7.不等式的解集是
3-r-1
8.已知函数
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