版高中数学北师大版选修11学案第二章 32 双曲线的简单性质.docx

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版高中数学北师大版选修11学案第二章32双曲线的简单性质

3.2　双曲线的简单性质

学习目标　1.了解双曲线的简单性质（对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等）.2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．

知识点一　双曲线的简单性质

思考　类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线

－＝1（a>0，b>0）的哪些性质？

梳理

标准方程

－＝1（a＞0，b＞0）

－＝1（a＞0，b＞0）

图形

性质

范围

对称性

对称轴：

________

对称中心：

______

对称轴：

________

对称中心：

______

顶点坐标

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞）

知识点二　双曲线的离心率

思考1　如何求双曲线的渐近线方程？

思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？

梳理　双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的　　　　，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．

知识点三　双曲线的相关概念

1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．

2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.

类型一　由双曲线方程研究其性质

例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

反思与感悟　由双曲线的方程研究其性质的解题步骤

（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．

（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

（3）由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．

跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

类型二　由双曲线的简单性质求标准方程

例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；

（3）求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程．

反思与感悟　

（1）求双曲线的标准方程的步骤

①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；

②设双曲线的标准方程；

③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；

④求出a，b，写出方程．

（2）①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1（λ≠0，－b2<λ

②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；

③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ（λ≠0）．

跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．

（1）一个焦点为（0,13），且离心率为；

（2）双曲线过点（3,9），离心率e＝；

（3）渐近线方程为y＝±x，且经过点A（2，－3）．

类型三　与双曲线有关的离心率问题

命题角度1　求双曲线离心率的值

例3　设F1，F2分别为双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（　　）

A.　　　　　　　B.

C.　　　　　　　D．3

引申探究

例3条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？

反思与感悟　求双曲线离心率的常见方法

（1）依据条件求出a，c，再计算e＝.

（2）依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解．

跟踪训练3　双曲线－＝1（0

命题角度2　求双曲线离心率的取值范围

例4　设双曲线C：

－y2＝1（a>0）与直线l：

x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围．

反思与感悟　求离心率的取值范围技巧

（1）根据条件建立a，b，c的不等式．

（2）通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围．

跟踪训练4　已知F1，F2是双曲线－＝1（a，b>0）的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A．（1，＋∞）B．（＋1，＋∞）

C．（1，＋1）D．（1，）

1．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的（　　）

A．焦点相同B．顶点相同

C．实轴与长轴相同D．短轴与虚轴相同

2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为（　　）

A．－4B．－3

C．2D．1

3．设F1和F2为双曲线－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，若F1，F2，P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）

A.B．2

C.D．3

4．等轴双曲线的一个焦点是F1（－6,0），则其标准方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

5．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．

1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1（a>0，b>0）右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．

2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．

梳理　x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a　坐标轴　原点　坐标轴　原点

A1（－a,0），A2（a,0）　A1（0，－a），A2（0，a）

知识点二

思考1　将方程－＝1（a>0，b>0）右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．

思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.

当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．

梳理　离心率　（1，＋∞）　越大

题型探究

例1　解　将9y2－4x2＝－36变形为

－＝1，即－＝1，

所以a＝3，b＝2，c＝，

因此顶点坐标为（－3,0），（3,0）；

焦点坐标为（－，0），（，0）；

实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；

离心率e＝＝；

渐近线方程为y＝±x＝±x.

跟踪训练1　解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.

由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

c＝＝＝5，焦点坐标是（0，－5），（0,5）；

离心率e＝＝；

渐近线方程为y＝±x.

例2　解　

（1）设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1（a>0，b>0）．

由题意知2b＝12，＝，

且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

（2）设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．

当λ>0时，a2＝4λ，

∴2a＝2＝6⇒λ＝；

当λ<0时，a2＝－9λ，

∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

（3）设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0）．

将点（2，－2）代入双曲线方程，

得λ＝－（－2）2＝－2，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

跟踪训练2　解　

（1）依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，

又＝，∴a＝5，b＝＝12，

故所求双曲线的标准方程为

－＝1.

（2）由e2＝，得＝，

设a2＝9k（k>0），

则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.

∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②

将（3,9）代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；

将（3,9）代入②，得k＝9.

故所求双曲线方程为－＝1.

（3）方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），

则＝.①

∵A（2，－3）在双曲线上，

∴－＝1.②

联立①②，无解．

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），

则＝.③

∵A（2，－3）在双曲线上，∴－＝1.④

联立③④，解得a2＝8，b2＝32.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ（λ≠0）．

∵A（2，－3）在双曲线上，

∴－（－3）2＝λ，即λ＝－8.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

例3　B　[考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a，

而|PF1|＋|PF2|＝3b，

两式等号左右两边平方后相减，

得|PF1|·|PF2|＝.

又已知|PF1|·|PF2|＝ab，

∴ab＝，得＝（负值舍去）．

∴该双曲线的离心率e＝

＝＝

＝.]

引申探究　解　作出满足题意的几何图形（如图），利用PF1⊥PF2及∠PF1F2＝30°，求出a，c的关系式．

设点P在双曲线右支上．

∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，

且∠PF1F2＝30°，

∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.

又点P在双曲线的右支上，

∴|PF1|－|PF2|＝（－1）c＝2a，

∴e＝＝＝＋1.

跟踪训练3　解　依题意，直线l：

bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c，

得＝c，

即ab＝c2，∴16a2b2＝3（a2＋b2）2，

即3b4－10a2b2＋3a4＝0，

∴32－10×＋3＝0，

解得＝或＝3.

又∵0

∴e＝＝2.

例4　解　由C与l相交于两个不同点，

知方程组

有两组不同的实根，

消去y并整理得

（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.①

所以

解得0

又双曲线的离心率e＝＝，

所以e>且e≠.

即离心率e的取值范围为

（，）∪（，＋∞）．

跟踪训练4　B　[由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，

又直线AB与x轴垂直，

所以|AF2|＝|BF2|，

故∠AF2B为钝角．

所以有>2c，即2ac

解得e∈（1＋，＋∞）．

故选B.]

当堂训练

1．A　2.A　3.B　4.D　5.y＝±x