命题逻辑真值形式Word格式文档下载.docx
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这些都是命题。
命题都有真假。
没有真假的语切不表达确定的判断.因而不是命题。
命题的真或假,称为命题的真值。
也就是说,命题的真值包括两个值,一个值是“真”,另一个值是“假”。
真命题的真值是“真”,假命题的真值是“假”。
原子命题和复合命题
原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。
例如:
(1)癌症是遗传的。
(2)癌症不是遗传的。
(3)并非癌症是遗传的。
(4)如果癌症是遗传的,那么老李患癌症是不可避免的。
(5)老李知道癌症是遗传的。
其中,句
(1)和句
(2)是原子命题,因为其中不包合和自身不同的命题,而句(3)、句(4)和句(5)不是原子命题,因为这些命题中都包含了和自身不同的命题(划横线的部分),这样的命题称为支命题。
像句(3)、句(4)和句(5)这样的命题,虽然都是包含支命题的非原子命题.但它们之间存在重要的区别。
句(3)和句(4)的真值是由其支命题的真值惟一地确定的,而句(5)则不是。
如果“癌症是遗传的”是真的,则句(3)是假的;
如果“癌症是遗传的”是假的,则句(3)是真的。
如果“癌症是遗传的”是真的,并且“老李患癌症是不可避免的”是假的,则句(4)是假的;
在支命题的其他真假情况下,句(4)都是真的。
句(5)的真值却不是由其支题的真值性—地确定的:
如果“癌症是遗传的”是真的,则句(5)可以是真的,也可以是假的。
像句
(2)和句(4)这样的命题,称为复合命题。
在命题逻联中,复合命题指这样的命题:
第—。
它包含和自身不同的命题作为支命题;
第二,它的真值由其支命题的真值惟一地确定。
复合命题的支命题可以是原子命题,也可以是复合命题。
复合命题最终是出原子命题依据一定的逻辑关系构成,依据这种逻辑关系,原子命题的真值,惟一地确定由其构成的复合命题的真值。
表达这种逻辑关系的语词,称为联结词。
因此,复合命题的终极构成成分只有两个,一个是原子命题,另一个是联结词。
例如,上例句(3)中的联结向是“并非”;
句(4)中的联结词是“如果……,那么……”。
2.真值联结词·
真值形式·
常用真值联结词
真值联结词和真值形式
日常语言所表达的联结问,除了表达原子命题和复合真假关系之外,在特定的语境下,还会表达其他某些意思。
(1)小张和小李结了婚,并见有了孩子。
如果交换句
(1)中两个支命题的位置,得到:
(2)小张和小李有了孩子,并且结了婚。
句
(2)的含义显然较之句
(1)有了变化。
这说明,这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外,还表达了其他什么意思。
如果只保留联结词中对于真假关系的断定,我们就从联结词得到了真值联结词。
因此,真值联结词是对联结词的一种抽象,它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复合命题之间的真假关系。
在命题逻辑中,真值联结词用专门的符号表示。
由真值联结词构成的复合命题的形式结构,就是真值形式。
例如,句
(1)的真值形式是
,其中,“
”是真值联结词,读作“合取”,表示“并且”;
p和q称作命题变项,表示原子命题。
因此,真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。
单个命题变项也是真值形式,真值联结词在其中零次出现。
特殊地,如果命题变项和真值联结词都零次出现,这样的真值形式称为空式。
空式也是真值形式。
在某些场合,空式的概念不可缺少。
另外,真值形式必须是有限构成的,即是有限长的符号串。
,
在以后的讨论中,p,q,r…表示命题变项,A,B,C…表示任意的真值形式。
这里定义五个常用真值联结词,即“
”、“
”和“
”及相关的五个基本真值形式。
合取
真值形式“
”,读作“p合取q”,断定:
p和q都是真的。
也就是说p和q中,只要有—个是假的,
就是假的。
“
”可如下定义:
p
q
1
1
0
上面这样的表格,称为真值表。
其中,“1”表示真,“o”表示假。
真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。
因此,正如下面将要说明的,一个完整的真值表,就定义了—个真值函数。
不同的真值表,定义不同的真值函数。
以上的真值表说明,关于
的真值运算,下面的等式成立:
1=1;
0=0
1=0
0=0。
在日常语言中,“p
q”表述为“P并且q”,“不但P,而且q”等等。
合取式相当于传统逻辑中的联言命题。
析取
”,读作“p析取q”,断定:
P和q中至少有一个是真的。
也就是说,只有当p和q都是假的,
才是假的。
的真值运算,以下的等式成立:
1=1
在日常语言中,“
”表述为“p或者q”。
析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。
蕴涵
”,读作“P蕴涵q”,断定:
只有当p真和q假时,
才是假的;
在其余情况下,
都是真的。
如上定义的蕴涵.称为“实质蕴涵”。
0=0;
l=1
0=0
0=l。
”表述为“如果P,那么q”,“只要P,就q”,等等。
蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。
“
”和“如果P,那么q”的含义是有区别的。
“如果P,那么q”除了表示“不会P真而q假”这种p和q之间的真假关系以外,根据具体的语境,还可能表示P和q之间的其他联系;
而“
”除了表示“不会P真而q假”以外,不表示P和q之间的任何其他联系。
因此,如果“如果p,那么q”成立.则“
”成立:
但反过来,如果“
”成立,则“如果p,那么q”不一定成立。
在后面的情况下.就会出现所谓的“蕴涵怪论”。
根据“蕴涵”的定义,只有当一个真命题蕴涵一个假命题的时候,这个蕴涵式才是假的,因此,假命题可以蕴涵任何命题,而真命题可以被任何命题蕴涵。
这样,因为“废话是财富”是个假命题,因此,它既可以蕴涵“夸夸其谈者可以成为百万富翁”,又可以蕴涵“夸夸其谈者将一贫如洗”。
事实上,我们可以接受“如果废话是财富,那么夸夸其谈者可以成为百万富翁”为真命题,但不能接受“如果废话是财富。
那么夸夸其谈者将一贫如洗”为真命题,特别是不能把这两个内容正好相悖的命题,同时接受为真命题。
像“如果废话是财富.那么夸夸其谈者将一贫如洗”这样的在实质蕴涵的意义上被确认为真,在事实上难以成立或显
然不能成立的条件命题。
就称为“蕴涵怪论”。
为了排除蕴涵怪论,逻辑学家定义了一种有别于实质蕴涵的“严格蕴涵”,从而产生了一个重要的逻辑分支——模态逻辑。
基于实质蕴涵的一阶逻辑不排除蕴涵怪论。
这里的关键问题是,“p
q”不完全等同于“如果p,那么q”,而只是对后者的一种真值抽象。
推理和蕴涵有着密切的联系。
我们说从前提A能推出结论B,意思就是说,如果A是真的,那么B就不会是假的,这正是A蕴涵B的意思。
因此,—个推理的真值形式就是一个蕴涵式。
等值
q”,读作“p当且仅当q”,也读作“p和q等值”,断定:
p和q具有相同的真值。
“p
q”可如下定义:
p
q
0=1;
1=0。
q”表述为“如果p,那么q;
并且只有p才q”。
等值式相当于传统逻辑中的充分必要条件假言命题。
定义所表达的定义项和被定义项之间的关系就是—种常见的等价关系。
换句话说,如果两个命题之间具有等值关系,它们是可以互相定义的。
显然,如果P蕴涵q,并且q蕴油p,则p和q就是等值的。
反之亦然。
也就是说“p
q”可定义为“
”。
并非
”,读作“并非p”,断定
和p具有不同的真值。
P
关于
的真值运算,以下的等式成立
1=0;
0=1。
[例]完成以下的真值运算:
[解]
=
=1
3.命题逻辑层次上的自然语言符号化·
复合命题的真值形式·
命题推理及其真值形式
复合命题的真值形式
基于上面所定义的常用真值联结词,就可以在命题逻辑的层次上对自然语言进行符号化,也就是对自然语言所表达的复合命题和命题推理,抽象出它们的真值形式。
把自然语言所表达的复合命题翻译成相应的真值形式,其步骤是:
第一,确定复合命题所包含的所有不同的原于命题;
第二,用同一命题变项表示所有相同的原子命题,用不同的命题变项分别表示所有不同的原子命题(表示命题变项的符号是小写英文字母p、q、r、s、t……);
第三,确定复合命题所断定的支命题之间的逻辑关系,并用相应的真值联结词加以表达;
第四,依据确定的层次,写出整个复合命题的真值形式。
下面通过实例加以说明。
[例1]写出下列各复合命题的真值形式:
(1)要么总经理辞职,要么董事长承担全部责任。
令P表示总经理辞职,q表示董事长承担全部责任。
命题
(1)断定p和q两个命题有且只有一个为真,因此,其真值形式是:
。
p
q表示传统逻辑中的相容选言命题;
在传统逻辑中,表示不相容选言命题的联结词是“要么……,要么……”。
本例说明,不相容选言命题“要么P,要么q”的真值形式是
(2)只有确保产品质量,企业才能具备起码的竞争力。
令P表示(企业)确保产品质量,q表示企业具备起码的竞争力。
命题
(2)断定p是q的必要条件,即无p则无q。
因此,其真值形式是:
p
q和p
q分别表示传统逻辑中的充分条件和充分必要条件假言命题;
在传统逻辑中,表示必要条件假言命题的联结词是“只有……才……”。
本例说明,必要条件假言命题“只有P,才有q”的真值形式是
〔3〕除非制定的法律都能得到有力的实施,否则,依法治国就是一句空话。
令P表示制定的法律都能得到有力的实施,q表示依法治国是一句空话。
命题(3)的真值形式是:
(4)明天将举行全校运动合,除非天下雨。
令P表示明天将举行全校运动会,q表示(明)天下雨。
题(4)的真值形式是:
[例2]写出下列各复合命题的真值形式:
(1)如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足,则全体人质就能获释;
否则,恐怖分子就要杀害人质,除非特种部队能实施有效的营救。
令p表示恐怖分子的要求能在规定期限内满足