命题逻辑真值形式Word格式文档下载.docx
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这些都是命题。
命题都有真假。
没有真假的语切不表达确定的判断．因而不是命题。
命题的真或假，称为命题的真值。
也就是说，命题的真值包括两个值，一个值是“真”，另一个值是“假”。
真命题的真值是“真”，假命题的真值是“假”。
原子命题和复合命题
原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。
例如：
（1）癌症是遗传的。
（2）癌症不是遗传的。
（3）并非癌症是遗传的。
（4）如果癌症是遗传的，那么老李患癌症是不可避免的。
（5）老李知道癌症是遗传的。
其中，句
（1）和句
（2）是原子命题，因为其中不包合和自身不同的命题，而句（3）、句（4）和句（5）不是原子命题，因为这些命题中都包含了和自身不同的命题（划横线的部分），这样的命题称为支命题。
像句（3）、句（4）和句（5）这样的命题，虽然都是包含支命题的非原子命题．但它们之间存在重要的区别。
句（3）和句（4）的真值是由其支命题的真值惟一地确定的，而句（5）则不是。
如果“癌症是遗传的”是真的，则句（3）是假的；
如果“癌症是遗传的”是假的，则句（3）是真的。
如果“癌症是遗传的”是真的，并且“老李患癌症是不可避免的”是假的，则句（4）是假的；
在支命题的其他真假情况下，句（4）都是真的。
句（5）的真值却不是由其支题的真值性—地确定的：
如果“癌症是遗传的”是真的，则句（5）可以是真的，也可以是假的。
像句
（2）和句（4）这样的命题，称为复合命题。
在命题逻联中，复合命题指这样的命题：
第—。
它包含和自身不同的命题作为支命题；
第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。
复合命题的支命题可以是原子命题，也可以是复合命题。
复合命题最终是出原子命题依据一定的逻辑关系构成，依据这种逻辑关系，原子命题的真值，惟一地确定由其构成的复合命题的真值。
表达这种逻辑关系的语词，称为联结词。
因此，复合命题的终极构成成分只有两个，一个是原子命题，另一个是联结词。
例如，上例句（3）中的联结向是“并非”；
句（4）中的联结词是“如果……，那么……”。
2．真值联结词·
真值形式·
常用真值联结词
真值联结词和真值形式
日常语言所表达的联结问，除了表达原子命题和复合真假关系之外，在特定的语境下，还会表达其他某些意思。
（1）小张和小李结了婚，并见有了孩子。
如果交换句
（1）中两个支命题的位置，得到：
（2）小张和小李有了孩子，并且结了婚。
句
（2）的含义显然较之句
（1）有了变化。
这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其他什么意思。
如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。
因此，真值联结词是对联结词的一种抽象，它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复合命题之间的真假关系。
在命题逻辑中，真值联结词用专门的符号表示。
由真值联结词构成的复合命题的形式结构，就是真值形式。
例如，句
（1）的真值形式是
，其中，“
”是真值联结词，读作“合取”，表示“并且”；
p和q称作命题变项，表示原子命题。
因此，真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。
单个命题变项也是真值形式，真值联结词在其中零次出现。
特殊地，如果命题变项和真值联结词都零次出现，这样的真值形式称为空式。
空式也是真值形式。
在某些场合，空式的概念不可缺少。
另外，真值形式必须是有限构成的，即是有限长的符号串。
，
在以后的讨论中，p，q，r…表示命题变项，A，B，C…表示任意的真值形式。
这里定义五个常用真值联结词，即“
”、“
”和“
”及相关的五个基本真值形式。
合取
真值形式“
”，读作“p合取q”，断定：
p和q都是真的。
也就是说p和q中，只要有—个是假的，
就是假的。
“
”可如下定义：
p
q
1
1
0
上面这样的表格，称为真值表。
其中，“1”表示真，“o”表示假。
真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。
因此，正如下面将要说明的，一个完整的真值表，就定义了—个真值函数。
不同的真值表，定义不同的真值函数。
以上的真值表说明，关于
的真值运算，下面的等式成立：
1＝1；
0＝0
1＝0
0＝0。
在日常语言中，“p
q”表述为“P并且q”，“不但P，而且q”等等。
合取式相当于传统逻辑中的联言命题。
析取
”，读作“p析取q”，断定：
P和q中至少有一个是真的。
也就是说，只有当p和q都是假的，
才是假的。
的真值运算，以下的等式成立：
1＝1
在日常语言中，“
”表述为“p或者q”。
析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。
蕴涵
”，读作“P蕴涵q”，断定：
只有当p真和q假时，
才是假的；
在其余情况下，
都是真的。
如上定义的蕴涵．称为“实质蕴涵”。
0＝0；
l=1
0=0
0=l。
”表述为“如果P，那么q”，“只要P，就q”，等等。
蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。
“
”和“如果P，那么q”的含义是有区别的。
“如果P，那么q”除了表示“不会P真而q假”这种p和q之间的真假关系以外，根据具体的语境，还可能表示P和q之间的其他联系；
而“
”除了表示“不会P真而q假”以外，不表示P和q之间的任何其他联系。
因此，如果“如果p，那么q”成立．则“
”成立：
但反过来，如果“
”成立，则“如果p，那么q”不一定成立。
在后面的情况下．就会出现所谓的“蕴涵怪论”。
根据“蕴涵”的定义，只有当一个真命题蕴涵一个假命题的时候，这个蕴涵式才是假的，因此，假命题可以蕴涵任何命题，而真命题可以被任何命题蕴涵。
这样，因为“废话是财富”是个假命题，因此，它既可以蕴涵“夸夸其谈者可以成为百万富翁”，又可以蕴涵“夸夸其谈者将一贫如洗”。
事实上，我们可以接受“如果废话是财富，那么夸夸其谈者可以成为百万富翁”为真命题，但不能接受“如果废话是财富。
那么夸夸其谈者将一贫如洗”为真命题，特别是不能把这两个内容正好相悖的命题，同时接受为真命题。
像“如果废话是财富．那么夸夸其谈者将一贫如洗”这样的在实质蕴涵的意义上被确认为真，在事实上难以成立或显
然不能成立的条件命题。
就称为“蕴涵怪论”。
为了排除蕴涵怪论，逻辑学家定义了一种有别于实质蕴涵的“严格蕴涵”，从而产生了一个重要的逻辑分支——模态逻辑。
基于实质蕴涵的一阶逻辑不排除蕴涵怪论。
这里的关键问题是，“p
q”不完全等同于“如果p，那么q”，而只是对后者的一种真值抽象。
推理和蕴涵有着密切的联系。
我们说从前提A能推出结论B，意思就是说，如果A是真的，那么B就不会是假的，这正是A蕴涵B的意思。
因此，—个推理的真值形式就是一个蕴涵式。
等值
q”，读作“p当且仅当q”，也读作“p和q等值”，断定：
p和q具有相同的真值。
“p
q”可如下定义：
p
q
0=1；
1=0。
q”表述为“如果p，那么q；
并且只有p才q”。
等值式相当于传统逻辑中的充分必要条件假言命题。
定义所表达的定义项和被定义项之间的关系就是—种常见的等价关系。
换句话说，如果两个命题之间具有等值关系，它们是可以互相定义的。
显然，如果P蕴涵q，并且q蕴油p，则p和q就是等值的。
反之亦然。
也就是说“p
q”可定义为“
”。
并非
”，读作“并非p”，断定
和p具有不同的真值。
P
关于
的真值运算，以下的等式成立
1＝0；
0＝1。
[例]完成以下的真值运算：
[解]
=
=1
3．命题逻辑层次上的自然语言符号化·
复合命题的真值形式·
命题推理及其真值形式
复合命题的真值形式
基于上面所定义的常用真值联结词，就可以在命题逻辑的层次上对自然语言进行符号化，也就是对自然语言所表达的复合命题和命题推理，抽象出它们的真值形式。
把自然语言所表达的复合命题翻译成相应的真值形式，其步骤是：
第一，确定复合命题所包含的所有不同的原于命题；
第二，用同一命题变项表示所有相同的原子命题，用不同的命题变项分别表示所有不同的原子命题（表示命题变项的符号是小写英文字母p、q、r、s、t……）；
第三，确定复合命题所断定的支命题之间的逻辑关系，并用相应的真值联结词加以表达；
第四，依据确定的层次，写出整个复合命题的真值形式。
下面通过实例加以说明。
[例1]写出下列各复合命题的真值形式：
（1）要么总经理辞职，要么董事长承担全部责任。
令P表示总经理辞职，q表示董事长承担全部责任。
命题
（1）断定p和q两个命题有且只有一个为真，因此，其真值形式是：
。
p
q表示传统逻辑中的相容选言命题；
在传统逻辑中，表示不相容选言命题的联结词是“要么……，要么……”。
本例说明，不相容选言命题“要么P，要么q”的真值形式是
（2）只有确保产品质量，企业才能具备起码的竞争力。
令P表示（企业）确保产品质量，q表示企业具备起码的竞争力。
命题
（2）断定p是q的必要条件，即无p则无q。
因此，其真值形式是：
p
q和p
q分别表示传统逻辑中的充分条件和充分必要条件假言命题；
在传统逻辑中，表示必要条件假言命题的联结词是“只有……才……”。
本例说明，必要条件假言命题“只有P，才有q”的真值形式是
〔3〕除非制定的法律都能得到有力的实施，否则，依法治国就是一句空话。
令P表示制定的法律都能得到有力的实施，q表示依法治国是一句空话。
命题（3）的真值形式是：
（4）明天将举行全校运动合，除非天下雨。
令P表示明天将举行全校运动会，q表示（明）天下雨。
题（4）的真值形式是：
[例2]写出下列各复合命题的真值形式：
（1）如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足，则全体人质就能获释；
否则，恐怖分子就要杀害人质，除非特种部队能实施有效的营救。
令p表示恐怖分子的要求能在规定期限内满足
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