考研数学真题归纳线性代数Word格式.docx
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,其中
为
的伴随矩阵,
是单位矩阵,则
=__________.
专题二：
矩阵
1、逆矩阵
=_____________.
阶非零矩阵,
阶单位矩阵.若
（A）
不可逆,
不可逆（B）
可逆
（C）
可逆,
可逆（D）
不可逆
的伴随矩阵
且
为4阶单位矩阵,求矩阵
均为2阶矩阵,
分别为
的伴随矩阵,若
则分块矩阵
的伴随矩阵为
（A）
（B）
（C）
（D）
2、初等矩阵
是3阶方阵,将
的第1列与第2列交换得
再把
的第2列加到第3列得
则满足
的可逆矩阵
例、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第3行得到单位阵E，记
，则A=（）
A
B
C
D
为3阶矩阵,将
的第2行加到第1行得
再将
的第1列的-1倍加到第2列得
记
为3阶矩阵，
为3阶可逆矩阵，且
则
（）
（B）
（D）
阶可逆矩阵,交换
的第1行与第2行得矩阵
的伴随矩阵,则
（A）交换
的第1列与第2列得
（B）交换
的第1行与第2行得
（C）交换
（D）交换
3、矩阵的秩
例、
的转置,
的转置.证明:
）
（2）若
线性相关,则
例、设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵
的秩为________。
的秩为________.
型矩阵
型矩阵,若
（A）秩
秩
（B）秩
（C）秩
（D）秩
专题三：
线性方程组
1、解的判定定理
例、已知方程组
无解,则
例、设有齐次线性方程组
试问
取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
例、已知四阶方阵
均为四维列向量,其中
线性无关,
.若
求线性方程组
的通解.
例、已知3阶矩阵
的第一行是
不全为零,矩阵
为常数）,且
2、基础解系
和
均为
矩阵,现有4个命题:
若
的解均是
的解,则秩
若秩
的解
与
同解,则秩
则
同解
以上命题中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
例、已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解,
（1）证明方程组系数矩阵
的秩
（2）求
的值及方程组的通解.
已知线性方程组
存在两个不同的解.
（1）求
（2）求方程组
例、设线性方程组
与方程
有公共解,求
的值及所有公共解.
为线性方程组
的一个基础解系,
为实常数,试问
满足什么条件时
也为
的一个基础解系?
是4阶矩阵，
为A的伴随矩阵。
是
的一个基础解系，则
的基础解系可为（）
3、应用（数学一数学二）
例、已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
例、设有三张不同平面,其方程为
）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
专题四：
向量
1、线性表示
是3维向量空间
的一组基,则由基
到基
的过渡矩阵为
（D）
例、设向量组
不能由向量组
线性表示；
（1）求
的值；
（2）将
用
线性表示
2、线性相关性
为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）
维列向量组
线性无关,则
线性无关的充分必要条件为
（A）向量组
可由向量组
线性表示
（B）向量组
线性表示
（C）向量组
与向量组
等价
（D）矩阵
与矩阵
等价
:
线性表示,则
（A）当
时,向量组
必线性相关（B）当
必线性相关
（C）当
必线性相关（D）当
为满足
的任意两个非零矩阵,则必有
的列向量组线性相关
的行向量组线性相关
（B）
的列向量组线性相关
（D）
维列向量,
矩阵,下列选项正确的是
（A）若
线性相关
（B）若
线性无关
（C）若
（D）若
线性无关.
3、极大无关组
若由
形成的向量空间的维数是2,则
例、从
的基
的过渡矩阵为.
4、综合运用
（1）求满足
的
的所有向量
（2）对
（1）中的任意向量
证明
无关.
专题五：
特征值特征向量
1、特征值特征向量的定义与性质
为2阶矩阵,
为线性无关的2维列向量,
的非零特征值为
例、若3维列向量
的转置,则矩阵
的非零特征值为.
是矩阵
的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
线性无关的充分必要条件是
2、相似对角化
的特征方程有一个二重根,求
的值,并讨论
是否可相似对角化.
为4阶对称矩阵,且
的秩为3,则
相似于
（B）
（A）合同且相似（B）合同但不相似
（C）不合同但相似（D）不合同且不相似
（A）合同,且相似（B）合同,但不相似
（C）不合同,但相似（D）既不合同,也不相似
为同阶方阵,
（1）若
相似,证明
的特征多项式相等.
（2）举一个二阶方阵的例子说明
（1）的逆命题不成立.
（3）当
为实对称矩阵时,证明
（1）的逆命题成立.
3、对称矩阵的对角化
求
的特征值与特征向量,其中
为3阶单位矩阵.
例、设3阶实对称矩阵
的各行元素之和均为3,向量
是线性方程组
的两个解.
的特征值与特征向量.
（2）求正交矩阵
和对角矩阵
使得
例、A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
求
（1）A的特征值与特征向量
（2）矩阵A
的特征向量值
的属于特征值
的一个特征向量,记
（1）验证
的特征向量,并求
的全部特征值与特征向量.
（2）求矩阵
例、已知三阶矩阵
和三维向量
线性无关,且满足
（1）记
求
使
（2）计算行列式
4、应用
例、某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工.设第
年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为
记成向量
的关系式并写成矩阵形式:
（2）验证
的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
时,求
为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如图,则
的正特征值个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
专题六：
二次型
已知实二次型
经正交变换可化为标准型
=_____________.
已知二次型
的秩为2.
）求
（2）求正交变换
把
化成标准形.
（3）求方程
=0的解.
设二次型
（1）求二次型
的矩阵的所有特征值;
（2）若二次型
的规范形为
的值.
在正交变换
下的标准形为
的第三列为
（2）证明
为正定矩阵,其中
三阶矩阵
为矩阵
的转置，已知
，且二次型
。
1）求
2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
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