特殊四边形的证明与计算Word文档下载推荐.docx
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证明你所得到的结论．
第2题图
（1）证明：
如解图，延长CE交AB于点G，
第2题解图
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAE＝∠CAE，
在△AGE和△ACE中，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE＝EC.
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，DE为△CGB的中位线，
∴DE∥BF.
又∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）解：
BF＝
（AB－AC）．
理由如下：
由
（1）可知，△AGE≌△ACE，四边形BDEF是平行四边形，
∴AG＝AC，BF＝DE＝
BG，
∴BF＝
BG＝
（AB－AG）＝
3．如图，已知边长为2
的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
矩形DEFG是正方形；
（2）设AE＝x，四边形DEFG的面积为S，当x为何值时，S的值最小，求出最小值．
第3题图
如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
第3题解图①
∴∠MEN＝90°
∴∠MEF＋∠FEN＝90°
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°
∴∠DEN＋∠FEN＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴DE＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
∵在正方形ABCD中，AB＝2
∴AC＝4，∠DAE＝45°
如解图②，过点E作EH⊥AD于点H，
第3题解图②
∵AE＝x（0<
x<
4），
∴AH＝EH＝
x，
在Rt△DHE中，
DH＝AD－AH＝2
－
x，EH＝
根据勾股定理得，
DE2＝DH2＋EH2＝（2
x）2＋（
x）2＝x2－4x＋8，
∵四边形DEFG为正方形，
∴S＝DE2＝x2－4x＋8＝（x－2）2＋4，
∴当x＝2时，S有最小值，即为4.
4.如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°
，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC；
延长CB至点F，使BF＝BC，连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N.
AD＝AF；
（2）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
第4题图
∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠ABC＝∠ACB＝45°
∴∠ABF＝180°
－∠ABC＝135°
∵∠BCD＝90°
∴∠ACD＝90°
＋∠ACB＝135°
∴∠ABF＝∠ACD，
∵CB＝CD，CB＝BF，
∴BF＝CD，
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AD＝AF；
四边形ABNE是正方形．
∵CD＝CB，∠BCD＝90°
∴∠CBD＝45°
∵∠ABC＝45°
∴∠ABD＝90°
∴∠ABN＝90°
由
（1）知△ABF≌△ACD，
∴∠FAB＝∠CAD，
∴∠FAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝90°
∵∠EAF＋∠FAB＝90°
∴∠EAF＝∠BAD，
∵AB＝AC＝AE，AF＝AD，
∴△AEF≌△ABD（SAS）．
∴∠AEF＝∠ABD＝90°
∵∠EAB＝90°
∴四边形ABNE是矩形，
又∵AE＝AB，
∴四边形ABNE是正方形．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．
（1）若ED⊥EF，求证：
ED＝EF；
（2）在
（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？
并证明你的结论．（请先补全图形，再解答）
第5题图
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC.
∴AC＝BC，AC⊥BC，
如解图，连接CE，
第5题解图
∵E为AB的中点，
∴AE＝EC，CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠CAE＝45°
∴∠DAE＝∠ECF＝135°
又∵∠AED＋∠CED＝∠CEF＋∠CED＝90°
∴∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴ED＝EF；
补全图形如解图，
四边形ACPE是平行四边形；
∵由
（1）得△AED≌△CEF，
∴AD＝CF，
∴AC＝CF，
又∵CP∥AE，
∴CP为△FAB的中位线，
∴CP＝
AB＝AE，
∵CP∥AE，
∴四边形ACPE是平行四边形．
6．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°
，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°
至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H.
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
（2）连接CG，求证：
四边形CBEG是正方形．
第6题图
（1）解：
FG⊥DE.理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°
至△DBE，
∴∠DEB＝∠ACB，
∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG，
∴∠GFE＝∠A，
∵∠ABC＝90°
∴∠A＋∠ACB＝90°
∴∠GFE＋∠DEB＝90°
∴∠FHE＝90°
∴FG⊥DE；
（2）证明：
根据旋转和平移可得∠GEF＝90°
，∠CBE＝90°
，CG∥EB，CB＝BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG＋∠CBE＝180°
∴∠BCG＝90°
∴四边形BCGE是矩形，
∵CB＝BE，
∴四边形CBEG是正方形．
7．如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°
，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′.如图②.
四边形AB′C′D是菱形；
（2）四边形ABC′D′的周长为________．
第7题图
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
由平移性质可知AD∥B′C′，AD＝B′C′，
∴四边形AB′C′D为平行四边形，
∵∠DAB＝90°
，∠ABD＝30°
∴AD＝
BD.
∵B′为BD中点，
∴AB′＝
BD，
∴AD＝AB′，
∴四边形AB′C′D是菱形；
4
【解法提示】如解图，连接AC′交B′D于点O，
第7题解图
∵四边形AB′C′D是菱形，
∴AC′⊥BD′，OA＝OC′，OD＝OB′，
又∵BD＝B′D′，
∴BB′＝DD′，
∴OB＝OD′，
∴四边形ABC′D′是菱形，
∴tan∠ABD＝tan30°
＝
，得AB＝
∴四边形ABC′D′的周长是4
8.边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合）．连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°
到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP的延长线与AD（或AD延长线）交于点F.
（1）连接CQ，证明：
CQ＝AP；
（2）设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE＝
BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
第8题图
由题意知BP＝BQ，∠PBQ＝90°
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABC＝90°
∴∠ABC＝∠PBQ，
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴CQ＝AP；
在正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠BAP＝∠PCE＝45°
由旋转可知△PBQ为等腰直角三角形，
∴∠BPQ＝∠PQB＝45°
在△ABP中，∠BPC＝∠BAP＋∠ABP＝45°
＋∠ABP，
又∵∠BPC＝∠BPQ＋∠CPE＝45°
＋∠CPE，
∴∠ABP＝∠CPE，
又∵∠BAP＝∠PCE，
∴△BAP∽△PCE，
∴
在等腰直角△ABC中，AB＝2
∴AC＝4，
又∵AP＝x，CE＝y，∴CP＝4－x，
，即y＝－
x2＋
x，（0<
4）
当CE＝
BC时，即CE＝y＝
×
2
＝－
解得x1＝1，x2＝3，
∴y＝－
x（0<
4），当x＝1或3时，CE＝
（3）解：
猜想：
PF＝EQ.
①当点F在线段AD上时，如解图①，在CE上取一点H，使HQ＝EQ，则∠QEH＝∠QHE，
第8题解图①
在正方形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠QEH，
∴∠DFE＝∠QHE，
∴∠AFP＝∠CHQ，
由
（1）知△ABP≌△CBQ，AP＝CQ，∠BAP＝∠BCQ＝45°
∴∠FAP＝∠BAP＝∠BCQ＝45°
在△AFP和△CHQ中，
∴△AFP≌△CHQ（AAS），
∴PF＝HQ，
又∵HQ＝EQ，
∴PF＝EQ；
②当点F在线段AD延长线上时，如解图②，在BE上取一点H，使HQ＝EQ，
第8题解图②
同理可证△AFP≌△CHQ（AAS），得FP＝HQ＝EQ.
9．如图，在△AEF中，∠EAF＝45°
，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C.
四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
第9题图
∵△AEB由△AEG翻折得到，
∴∠ABE＝∠AGE＝90°
，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，
∵△AFD由△AFG翻折得到，
∴∠ADF＝∠AGF＝90°
，∠DAF＝∠FAG，AD＝AG，
∵∠EAG＋∠FAG＝∠EAF＝45°
∴∠BAE＋∠DAF＝45°
∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AG＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
MN2＝ND2＋DH2，
理由：
如解图，连接NH，
第9
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