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三次函数专题
一、定义：
定义1、形如yax3bx2cxd（a0）的函数，称为“三次函数”（从函数解析式
的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数y3ax22bxc（a0），把4b212ac叫做三次函数
导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函
数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究：
1、单调性。
一般地，当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd（a0）在R上是单调函
数；当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd（a0）在R上有三个单调区间。
（根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论）
2、对称中心。
三次函数f（x）ax3bx2cxd（a0）是关于点对称，且对称中心为点
bb
（,f（）），此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a3a
证明：
设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故，得，
。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f（x）图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的
中点，同时也是二阶导为零的点。
1
3、三次方程根的问题。
（1）当△=42
12
ac
0
时，由于不等式
f
（x）
0恒成立，函数是单调递增的，所以原
b
方程仅有一个实根。
（2）当△=4b2
12ac
0时，由于方程
f
（x）
0有两个不同的实根
x1,x2，不妨设
x1x2，可知，（x1,f（x1））为函数的极大值点，
（x2,f（x2））为极小值点，且函数yf（x）
在（,x1）和（x2,）上单调递增，在x1,x2上单调递减。
此时：
①若f（x1）f（x2）0，即函数yf（x）极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴
只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若f（x1）f（x2）0，即函数yf（x）极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x
轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f（x1）f（x2）0，即f（x1）与f（x2）中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个
实根，其中两个相等。
4、极值点问题。
若函数f（x）在点x0的附近恒有f（x0）≥f（x）（或f（x0）≤f（x）），则称函数f（x）在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。
当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。
当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若，且
，则：
fmaxxfm,fx0,fn；
。
三、例题讲解：
例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数
3
2
f（x）=x-3ax
+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求
a的取值范围。
解：
2
5
5
5
5
①式无解，②式的解为4
a
因此a的取值范围是4
，
3，
3.
例2、已知函数f（x）满足f（x）x3
f'2x2
xC（其中C为常数）．
3
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）
0有且只有两个不等的实数根，求常数
C；
1
（3）在
（2）的条件下，若f0，求函数f（x）的图象与x轴围成的封闭
3
图形的面积．
解：
（1）由f（x）
x3
f'2x2
xC，得f'（x）3x2
2f'2x1．
3
3
2，得f'
2
2
2
2
2
2
取x
3
2f'
1，解之，得f'
1，
3
3
3
3
3
3
∴
f
xx3
x2
x
C
．
（）
从而f'（x）
3x2
2x
1
3
x
1x
1，
3
列表如下：
x
（
1）
1
（
1,1）
1
（1,
）
f'（x）
3
3
3
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
有极大值
↘
有极小值
↗
3
∴f（x）的增区是
（,
1）和（1,
）；f（x）的减区是
3
（1
1）．
3
（2）由
（1）知，[f（x）]极大值
f
1
3
3
2
1C
[f（x）]极小值f
（1）1
11C
3
1
2
5
1
1
C
C；
3
3
3
27
．
∴方程f（x）
0有且只有两个不等的数根，等价于[f（x）]极大值
0或
[f（x）]极小值
0
．⋯⋯⋯8分
∴常数C
5或C
1．
27
（3）由
（2）知，f（x）
x3
x2
x
5
或f（x）
x3
x2
x
1．
27
而f
1
0，所以f（x）
x3
x2
x
1
．
3
令f（x）
x3
x2
x
10，得（x1）2（x
1）0，x1
1，x2
1．
1
1x4
1x3
1x2
1
4．
∴所求封形的面
x2
x
1dx
x
x3
1
4
3
2
1
3
例3、（恒成立问题）已知函数f（x）
1
x3
1
x2
cx
d有极．
（1）求c的取范；
3
2
（2）若f（x）在x
2取得极，且当x
0，f（x）
1
d2
2d恒成立，求d的
6
取范．
解：
（1）∵f（x）
1x3
1x2
cx
d，∴f
（x）
x2
x
c，
3
2
x2
要使f（x）有极，方程f
（x）
x
c
0
有两个数解，
从而△＝1
4c0，∴c
1．
（2）∵f（x）在x
2取得极，
4
∴f
（2）
4
2
c
0，
∴c
2．
∴f（x）
1x3
1x2
2xd，
3
2
∵f（x）
x2
x2
（x
2）（x1），
∴当x
（
1]，f（x）
0，函数增，
当x
（
1,2]
，f
（x）
0
，函数减．
∴x
0，f（x）在x
1取得最大7
d，
6
∵x
0
，f（x）
1d2
2d恒成立，
6
4
∴7
d
1d2
2d
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