版高中数学第三单元导数及其应用332利用导数研究函数的极值一教学案新人教B版选.docx
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版高中数学第三单元导数及其应用332利用导数研究函数的极值一教学案新人教B版选
3.3.2 利用导数研究函数的极值
（一）
学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数极值的概念
函数y＝f（x）的图象如图所示．
思考1 函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
思考2 f′（a）为多少？
在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
思考3 函数在点x＝b处的情况呢？
梳理 已知函数y＝f（x）及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f（x）f（x0），则称函数f（x）在点x0处取____________，记作y极小值＝f（x0），并把x0称为函数f（x）的一个________________．
____________与____________统称为极值．__________与____________统称为极值点．
知识点二 求函数y＝f（x）的极值的方法
解方程f′（x）＝0.当f′（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f′（x）________0，右侧f′（x）________0，那么f（x0）是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f′（x）________0，右侧f′（x）________0，那么f（x0）是极小值．
类型一 求函数的极值和极值点
例1 求下列函数的极值：
（1）f（x）＝2x3＋3x2－12x＋1；
（2）f（x）＝＋3lnx.
反思与感悟 求可导函数f（x）的极值的步骤
（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）．
（2）求方程f′（x）＝0的根．
（3）利用f′（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：
在判断f′（x）的符号时，借助图象也可判断f′（x）各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1 已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
类型二 已知函数极值求参数
例2 已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
引申探究
若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
（1）根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
（2）因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′（x）的图象经过点（1,0），（2,0），如图所示，求：
（1）x0的值；
（2）a，b，c的值．
类型三 函数极值的综合应用
例3 设函数f（x）＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f（x）的图象与y＝f′（x）＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
1．如图为y＝f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
①f（x）在（－3,1）上为增函数；
②x＝－1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2,4）上为减函数，在（－1,2）上是增函数；
④x＝2是f（x）的极小值点．
A．①②③B．②③
C．③④D．①③④
2．函数f（x）＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为（ ）
A．8B.C．10D．12
3．函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3时取得极值，则a等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为（ ）
A．－1C．a<－1或a>2D．a<－3或a>6
5．已知函数f（x）＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调区间，并求极值．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f（x）在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0且在x＝x0两侧f′（x）符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 函数在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2 f′（a）＝0，在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0.
思考3 函数在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′（b）＝0，且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.
梳理 极大值 极大值点 极小值 极小值点 极大值 极小值 极大值点 极小值点
知识点二
（1）> <
（2）< >
题型探究
例1 解
（1）函数f（x）＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′（x）＝6x2＋6x－12＝6（x＋2）（x－1），
解方程6（x＋2）（x－1）＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f（x）取极大值21；
当x＝1时，f（x）取极小值－6.
（2）函数f（x）＝＋3lnx的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－＋＝，
令f′（x）＝0，得x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
↘
极小值3
↗
因此当x＝1时，f（x）有极小值3，无极大值．
跟踪训练1 解
（1）因为f′（x）＝ex（ax＋b）＋aex－2x－4＝ex（ax＋a＋b）－2x－4，
所以f′（0）＝a＋b－4＝4，①
又f（0）＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
（2）f（x）＝ex（4x＋4）－x2－4x，
f′（x）＝ex（4x＋8）－2x－4
＝4ex（x＋2）－2（x＋2）
＝（x＋2）（4ex－2）．
解f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2，－ln2）
－ln2
（－ln2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，
在（－2，－ln2）上单调递减．
当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，
极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．
例2 解 因为f（x）在x＝－1时有极值0，
且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
所以
即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3
＝3（x＋1）2≥0，
所以f（x）在R上为增函数，无极值，
故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3），
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数；
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数，
所以f（x）在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
引申探究
解 因为f′（x）＝3x2＋6ax＋b，由极值点的必要条件可知
即解得
所以a＝2，b＝9.
跟踪训练2 解
（1）由图象可知，在区间（－∞，1）上f′（x）＞0，在区间（1,2）上f′（x）＜0，在区间（2，＋∞）上f′（x）＞0.
故f（x）在（－∞，1），（2，＋∞）上单调递增，在（1,2）上单调递减，因此f（x）在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
（2）f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，
由f′
（1）＝0，f′
（2）＝0，f
（1）＝5，
得
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
例3 解
（1）f′（x）＝3x2－6，
令f′（x）＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′（x）＞0；
当－＜x＜时，f′（x）＜0.
所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）；
单调递减区间为（－，）．
当x＝－时，f（x）有极大值5＋4；
当x＝时，f（x）有极小值5－4.
（2）由
（1）的分析知，y＝f（x）的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
即方程f（x）＝a有三个不同的实根．
跟踪训练3 解 由f（x）＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′（x）＝3x2－12x＋9，
∴f′（x）＋5x＋m
＝（3x2－12x＋9）＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g（x）＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′（x）＝3x2－14x＋8
＝（3x－2）（x－4），
∴令g′（x）＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，）
（，4）
4
（4，＋∞）
g′（x）
＋
0
－
0
＋
g（x）
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g（x）的极大值为g（）＝－m，极小值为g（4）＝－16－m.
∴由y＝f（x）的图象与y＝f′（x）＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16即实数m的取值范围为（－16，）．
当堂训练
1．B [当x∈（－3，－1）时，f′（x）<0；
当x∈（－1,2）时，f′（x）>0，
所以f（x）在（－3，－1）上为减函数，在（－1,2）上为增函数，故①不正确；
x＝－1是f（x）的极小值点，故②正确；
当x∈（2,4）时，f′（x）<0，f（x）是减函数，故③正确；
x＝2是f（x）的极大值点，故④不正确．]
2．A [由f′（x）＝x2－4＝0，
得x1＝－2，x2＝2，
∴函数f（x）的极大值与极小值的和为
f（－2）＋f
（2）＝8.]
3．D [因为f′（x）＝3x2＋2ax＋3，
则f′（－3）＝3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，所以a＝5.]
4．D [f′（x）＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为
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