与中垂线有关的问题文档格式.docx

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例3如图3,△ABC中∠A=120°

AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.

则

=.

例4如图4，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证∠CAF=∠B.

图4

【难题巧解点拨】

例1△ABC中，∠A=90°

AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD（图5）.

图5

例2如图6，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，BD=5，BC=20，求AB.

图6

【同步达纲练习】

一、判断

（）1.三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形.

（）2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.

（）3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.

（）4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°

.

（）5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.

（）6.和线段两端相等的点不一定在线段上.

二、选择题

1.到三角形三个顶点距离相等的是（）

A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点

2.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°

∠CAD=10°

则∠ACB=（）A.90°

B.100°

C.110°

D.120°

3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°

则∠ABE=（）

A.17°

B.34°

C.68°

D.136°

4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（）

A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

图7

6.△ABC中，∠ACB=90°

∠A=30°

AC的中垂线交AC于E.交AB于D，（图7）则图中60°

的角共有（）

A．6个B.5个C.4个D3个

三、填空

1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.

2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC=.

3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°

AB中垂线交BC于E，则

4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC=.

5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=.

6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.

四、解答

1.△ABC中，∠C=90°

AB的中垂线交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°

求∠A及∠BED的度数.

2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.

【素质优化训练】

1.AD为△ABC的角平分线，DE∥AC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F（图8）,求证

（∠BAC+∠AFC）=90°

-∠B.

2.如图9，△ABC中，AB=AC，AE∥BC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC＞2AB.

【拓展训练】

例1：

如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

点评：

此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;

那么当AB的垂直平分线与BC相交时，（如图2）,对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

变式1：

如图1，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°

，则∠A=.

变式2：

如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。

若BE=2，∠B=15°

求：

AC的长。

例2:

如图5，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°

AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.

（1）求△AEN的周长.

（2）求∠EAN的度数.

（3）判断△AEN的形状.

变式1:

如图6，在△ABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=130°

变式2:

如图7，在△ABC中，BC=12,∠BAC=100°

【课后练习】

1、如图，已知：

AB=BC=14㎝，DE垂直平分AB，交BC于E，AC=8㎝。

求△AEC的周长。

2、如图，已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠B=22.5°

，DE垂直平分AB，BD=8。

求AC的长。

3、如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F。

求证：

AD⊥EF。

4、如图，已知△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC，BC=20，BD:

CD=5:

3，求点D到AB的距离。

5、如图，已知：

AB∥CD，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的平分线，EF垂直平分BC。

BE=CF。

7、如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与AC的中垂线相交于点N，ND⊥AB于D，NE⊥BC于E。

AD=CE。

8、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°

，AD平分∠BAC，BE⊥AC于E，BE∥DF，EF=1。

求点F到的BC距离。

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