高中数学选择性必修二模块检测卷文档格式.docx

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2n－1＝2n－3，所以bn＝n－3，所以数列{bn}的前10项和T10＝＝5×

（－2＋7）＝25.故选C.

答案　C

4.函数f（x）＝x3－3bx＋3b在（0，1）内有极小值，则（　　）

A.0＜b＜1B.b＜1

C.b＞0D.b＜

解析　因为f′（x）＝3x2－3b＝0，所以x2＝b，若y＝f（x）在（0，1）内有极小值，则只需即0＜b＜1.

5.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：

“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：

各该若干？

”翻译成现代文为：

今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？

请你计算甲应该分得（　　）

A.78石B.76石

C.75石D.74石

解析　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×

（－18）＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石.故选A.

6.已知数列{an}是等差数列，{bn}是正项等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6，则a2019＋b9＝（　　）

A.2025B.2529

C.2026D.2275

解析　设数列{bn}的公比为q（q>

0），∵b1＝1，b3＝b2＋2，∴q>

1且b1q2＝b1q＋2，即q2＝q＋2，解得q＝－1（舍）或q＝2，∴bn＝2n－1.

∵数列{an}是等差数列，公差设为d，b4＝a3＋a5＝23，b5＝a4＋2a6＝24，

∴2a4＝23，a4＋2a6＝24，∴a4＝4，a6＝6.

∴由a6＝a4＋2d，得d＝1，

由a6＝a1＋5d，得a1＝1，∴an＝n.

∴a2019＋b9＝2019＋28＝2275，故选D.

答案　D

7.已知y＝f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且有f′（x）＋>

0，则对于任意的a，b∈（0，

＋∞），当b>

a时，有（　　）

A.af（b）>

bf（a）B.af（b）<

bf（a）

C.af（a）<

bf（b）D.af（a）>

bf（b）

解析　因为y＝f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且有f′（x）＋>

0，所以>

0，令F（x）＝xf（x），则F′（x）＝xf′（x）＋f（x），则当x>

0时，F′（x）>

0，F（x）单调递增.因为a，b∈（0，

a时，F（b）>

F（a），即af（a）<

bf（b），故选C.

8.已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）>

f′（x）＋1，且f（x）－2019为奇函数，则不等式f（x）－2018ex<

1的解集为（　　）

A.（0，＋∞）B.（－∞，0）

C.D.

解析　构造函数g（x）＝，则g′（x）＝<

0，所以函数g（x）＝在R上单调递减.

由于函数y＝f（x）－2019为奇函数，则f（0）－2019＝0，则f（0）＝2019，所以g（0）＝＝2018.由f（x）－2018ex<

1，得f（x）－1<

2018ex，即<

2018，所以g（x）<

g（0）.由于函数y＝g（x）在R上单调递减，因此x>

0，故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）

9.如图是导数y＝f′（x）的图象，下列说法正确的是（　　）

A.（－1，3）为函数y＝f（x）的单调递增区间

B.（3，5）为函数y＝f（x）的单调递减区间

C.函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值

D.函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值

解析　由题图，可知当x<

－1或3<

x<

5时，f′（x）<

0；

当x>

5或－1<

3时，f′（x）>

0，所以函数y＝f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，5），单调递增区间为（－1，3），（5，＋∞），所以函数y＝f（x）在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误，ABD正确.

答案　ABD

10.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是（　　）

A.d>

0B.a1<

C.当n＝5时Sn最小D.Sn>

0时n的最小值为8

解析　由题意，设等差数列{an}的公差为d，

因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3（a1＋4d），解得a1＝－3d，

又由等差数列{an}是递增数列，可知d>

0，则a1<

0，故A，B正确；

因为Sn＝n2＋n＝n2－n＝－，

由n∈N*可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误，

令Sn＝n2－n>

0，解得n<

0或n>

7，即Sn>

0时n的最小值为8，故D正确.

11.若函数f（x）＝ex－1与g（x）＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为（　　）

A.2B.0

C.1D.－1

解析　由f（x）＝ex－1与g（x）＝ax恒过（0，0），如图，

当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点，

当a>

0时，函数f（x）＝ex－1与g（x）＝ax的图象恰有一个公共点，

则g（x）＝ax为f（x）＝ex－1的切线，且切点为（0，0），

由f′（x）＝ex，所以a＝f′（0）＝e0＝1，

综上所述，a＝0，－1或1.

答案　BCD

12.已知函数f（x）＝ex·

x3，则以下结论正确的是（　　）

A.f（x）在R上单调递增

B.f（log52）<

f<

f（lnπ）

C.方程f（x）＝－1有实数解

D.存在实数k，使得方程f（x）＝kx有4个实数解

解析　f（x）＝ex·

x3，则f′（x）＝ex·

x3＋ex·

3x2＝x2ex（x＋3），

故函数在（－∞，－3）上单调递减，在（－3，＋∞）上单调递增，A错误；

0<

log52<

，<

e－<

1，lnπ>

1，根据单调性知f（log52）<

f（lnπ），B正确；

f（0）＝0，

f（－3）＝－<

－1，故方程f（x）＝－1有实数解，C正确；

f（x）＝kx，易知当x＝0时成立，当x≠0时，k＝＝exx2，设g（x）＝exx2，

则g′（x）＝exx（x＋2），故函数在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，且g（－2）＝.

画出函数图象，如图所示：

当0<

k<

时有3个交点.

综上所述：

存在实数k，使得方程f（x）＝kx有4个实数解，D正确；

故选BCD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13.函数f（x）＝alnx＋bx2在点（1，f

（1））处的切线方程为y＝4x－3，则a＝________，b＝________.（本题第一空2分，第二空3分）

解析　由题得f′（x）＝＋2bx，由导数的几何意义可得f

（1）＝1，f′

（1）＝4，

即b＝1，＋2b×

1＝4，所以a＝2，b＝1.

答案　2　1

14.已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若1≤a2≤5，2≤a3≤7，则S6的取值范围是________.

解析　依题意设S6＝6a1＋15d＝x（a1＋d）＋y（a1＋2d），

由解得

则两式相加得3≤S6≤60，

即S6的取值范围是[3，60].

答案　[3，60]

15.在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1（n≥2，n∈N*），记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2017，则n的值为________.

解析　由anan－1＝2an－1－1（n≥2，n∈N*）及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.

数列{an}的前n项之积为Tn＝×

×

…×

＝n＋1.

∴当Tn＝2017时，n的值为2016.

答案　2016

16.若函数f（x）＝x3－3x在区间（a，6－a2）上有最小值，则实数a的取值范围是________.

解析　若f′（x）＝3x2－3＝0，则x＝±

1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点.函数f（x）在区间（a，6－a2）上有最小值，则函数f（x）的极小值点必在区间（a，6－a2）内，且左端点的函数值不小于f

（1），即实数a满足a<

1<

6－a2且f（a）＝a3－3a≥f

（1）＝－2.

解a<

6－a2，得－<

a<

1.不等式a3－3a≥f

（1）＝－2，即a3－3a＋2≥0，a3－1－3（a－1）≥0，（a－1）（a2＋a－2）≥0，即（a－1）2（a＋2）≥0，即a≥－2，故实数a的取值范围为[－2，1）.

答案　[－2，1）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　

（1）数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1①.

当n＝1时，解得a1＝1.

当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1②，

①－②得，an＝3an－1，又a1≠0，

故＝3（常数），所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列.

所以an＝3n－1.

（2）数列{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，

设cn＝bn－an，则c1＝b1－a1＝1，c3＝b3－a3＝5，

公差d＝＝＝2，所以cn＝2n－1.

则bn＝an＋cn＝3n－1＋2n－1.

故Tn＝（30＋31＋…＋3n－1）＋（1＋3＋…＋2n－1）＝＋＝＋n2.

18.（本小题满分12分）设a∈R，函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x.

（1）若函数g（x）＝（x≠0）为奇函数，求实数a的值；

（2）若函数f（x）在x＝2处取得极小值，求实数a的值.

解　

（1）由已知，得f′（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a，

g（x）＝＝x＋－2a－1，x≠0.

∵g（x）＝（x≠0）为奇函数，

∴∀x≠0，g（－x）＋g（x）＝0，即－2a－1＝0，

∴a＝－.

（2）f′（x）＝x2－（2a＋1）x＋