中考数学专题复习八圆Word格式文档下载.docx

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13.84

常州市

11.67

15

12.50

镇江市

11

9.17

13

10.83

扬州市

23

15.33

16

10.67

泰州市

8.67

12.00

南通市

7.33

9.33

盐城市

6.67

4

淮安市

9

6.00

宿迁市

12.67

徐州市

8.57

11.43

连云港市

4.00

平均

14.69

10.80

12.85

9.23

10.55

【课标要求】

1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；

探索并了解点与圆的位置关系.

2.探索并证明垂径定理.

3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论.

4.知道三角形的内心和外心.

5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.

7.探索并证明切线长定理.

8.会计算弧长及扇形的面积.

9.了解正多边形的概念及正多边形.

【课时分布】

本单元在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.

课时数

内　　容

1

圆的认识及有关概念

2

与圆有关的位置关系

与圆有关的计算

圆的综合性问题

圆的单元测试与评析

【知识回顾】

1．

直线与圆的位置关系

知识脉络

2.基础知识

（1）圆的认识

①圆可由圆心与半径确定.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.

圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都与自身重合，其旋转对称中心为圆心.圆还是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

②弦是连接圆上任意两点的线段.经过圆心的弦叫做直径，它是圆中最长的弦.

③弧是圆上任意两点间的部分.圆上直径两端点之间的部分叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧；

小于半圆的弧叫做劣弧.如果两段（圆）弧能够完全重合，则称它们为等弧.

④圆心角是顶点在圆心的角.圆周角是顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.

（2）与圆有关的位置关系

①点与圆有三种位置关系：

点在圆外；

点在圆上；

点在圆内.

设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则三种位置关系的判断方法为：

经过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

②直线和圆的位置关系有三种：

相离、相切、相交.

如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离.

如果一条直线与一个圆有且只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切.

如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交.

设圆心与直线间的距离为，圆的半径为，则直线和圆的三种位置关系的判断方法为：

直线与圆相离；

直线与圆相切；

直线与圆相交.

圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.

（3）与圆有关的定理

①“弧、弦、圆心角的关系”定理：

在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余两组量也分别对应相等.

②*垂径定理:

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的推论:

Ⅰ.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

Ⅱ.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

Ⅲ.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

③圆周角定理及其推论：

Ⅰ.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

Ⅱ.90°

的圆周角所对的弦是圆的直径.

Ⅲ.半圆或直径所对的圆周角都相等，等于90°

（直角）.

④圆内接四边形的性质定理:

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

⑥圆的切线的性质:

Ⅰ.与圆只有一个公共点；

Ⅱ.圆心到切线的距离等于半径；

Ⅲ.圆的切线垂直于过切点的半径.

⑦切线的判定:

如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线；

到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

⑧*从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

⑨三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.

⑩相交弦定理：

圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

⑪割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

（4）与圆有关的计算

①由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

弧长公式：

；

扇形面积公式：

=.其中为圆心角的度数，为半径.

②圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的侧面可以看成是由一个矩形围成的.圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边所在的直线为轴旋转而形成的几何体.

圆柱的侧面积=底面周长×

高；

圆柱的全面积=侧面积＋２×

底面积.

③圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.

圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面可以看成是由一个扇形围成的.圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转而形成的几何体.

圆锥的侧面积=×

底面周长×

母线；

圆锥的全面积=侧面积＋底面积.

3.能力要求

图8-1

例1如图8-1，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°

，则∠ABD=（）

A.40°

B.60°

C.70°

D.80°

【分析】

由垂径定理推论可得AB⊥CD,由圆周角定理可得∠D=∠BOC=20°

，∴∠ABD=70°

【解】

选C

【说明】

本题涉及到垂径定理推论，圆周角定理等，难度不大.

图8-3

例2如图8-2，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为.

如图8-3连接OD，

∵AB⊥CD，AB是直径，

∴由垂径定理得：

DE=CE=3.

设⊙O的半径是R，在Rt△ODE中，由勾股定理得OD2=OE2+DE2．

即．

解得：

R=5．

5．

本题涉及到了垂径定理，勾股定理.

例3如图8-4已知：

在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.

（1）求证：

AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°

，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长.

（1）连接AD构造直角三角形，同时可以根据圆周角定理得到∠DEC=∠DAC，

然后由∠EBC=∠DEC可得∠EBC=∠DAC.然后可由∠DAC+∠ACD=90°

．

可得∠EBC+∠ACD=90°

，即AC⊥BH.

图8-4

（2）可由∠ABC=45°

得△ABD是等腰直角三角形，AD=BD=8,然后求的AC=6.再根据△CDE∽△CEB求得CE长度.

证明：

（1）如图8-5连接AD

∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC

∴∠DAC=∠EBC

又∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC=90°

∴∠DCA+∠DAC=90°

∴∠EBC+∠DCA=90°

图8-5

∴∠BGC=180°

-（∠EBC+∠DCA）=180°

-90°

=90°

∴AC⊥BH

（2）法一：

∵∠BDA=180°

−∠ADC=90°

，∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

．∴BD=AD．

∵BD=8，∴AD=8．

又∵∠ADC=90°

，AC=10，

∴.

∴BC=BD+DC=8+6=14.

∵∠EBC=∠DEC，∠ECD=∠BCE，∴△CDE∽△CEB.

∴即．∴CE=.

法二∵∠BDA=180°

，

.∴BD=AD.

，AC=10，∴.

∴BC=BD+DC=8+6=14

又∵∠BGC=∠ADC=90°

，∠BCG=∠ACD，∴△BCG∽△ACD.∴.

∴.∴.

连接AE，∵AC是直径，∴∠AEC=90°

.

又∵EG⊥AC，∴△CEG∽△CAE.

∴.∴.

涉及到用直径所对的圆周角是直角来构造直角三角形，圆周角的性质、以及用到相似三角形的判定与性质等知识来求线段的长度.解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，相等的角的转化.本题中的辅助线是圆中常见的，教师要有意识地加以引导.

图8-7

例4如图8-7，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°

，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

（1）弦长AB等于　（结果保留根号）；

（2）当∠D=20°

时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？

请写出解答过程.

（1）如图8-8，过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）如图8-9，连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BCO是△DAC的外角，得∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，因此要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°

，然后由相似三角形的性质可求得.

（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°

∵OB=2，∠B=30°

，∴BE=OB•cos∠B=2×

=.

∴AB=.

（2）连接OA，∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D.

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.

又∵∠B=30°

，∠D=20°

，∴∠DAB=50°

图8-9

∴∠BOD=2∠DAB=100°

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°

此时∠BOC=60°

，∠BOD=120°

∴∠DAC==60°

.∴△DAC∽△BOC.

∵∠B