高等数学章重积分Word文档格式.docx

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一、二重积分的概念

1曲顶柱体的体积

设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf（xy）这里f（xy）0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先用一组曲线网把D分成n个小区域

12n

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点（ii）以f（ii）为

高而底为i的平顶柱体的体积为

f（ii）i（i12n）

这个平顶柱体体积之和

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即

其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点（xy）处的面密度为（xy）这里（xy）0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D分成n个小区域

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

（ii）i

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

将分割加细取极限得到平面薄片的质量

定义设f（xy）是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域

其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点（ii）作和

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f（xy）在闭区域D上的二重积分记作即

f（xy）被积函数f（xy）d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性当f（xy）在闭区域D上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数f（xy）在D上的二重积分必定存在我们总假定函数f（xy）在闭区域D上连续所以f（xy）在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义如果f（xy）0被积函数f（xy）可解释为曲顶柱体的在点（xy）处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f（xy）是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的

二二重积分的性质

性质1设c1、c2为常数则

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域D1与D2则

性质3（为D的面积）

性质4如果在D上f（xy）g（xy）则有不等式

特殊地有

性质5设M、m分别是f（xy）在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则有

性质6（二重积分的中值定理）设函数f（xy）在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点（）使得

92二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D1（x）y2（x）axb

Y型区域

D1（x）y2（x）cyd

混合型区域

设f（xy）0D{（xy）|1（x）y2（x）axb}

此时二重积分在几何上表示以曲面zf（xy）为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积

对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1（x0）2（x0）]为底、以曲线zf（x0y）为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为

即V

可记为

类似地如果区域D为Y型区域

则有

例1计算其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域

解画出区域D

方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是

注积分还可以写成

解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是

例2计算其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域

解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是

也可D看成是Y型区域：

1y11x<

y于是

例3计算其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域

解积分区域可以表示为DD1+D2

其中于是

积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是

讨论积分次序的选择

例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解设这两个圆柱面的方程分别为

x2y22及x2z22

利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{（xy）|0y,0x}为底以顶的曲顶柱体

于是

二利用极坐标计算二重积分

有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

按二重积分的定义

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点设其直角坐标为（ii）

则有

于是

即

若积分区域可表示为

1（）2（）

则

讨论如何确定积分限?

例5计算其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域

解在极坐标系中闭区域D可表示为

0a02

于是

注此处积分也常写成

利用计算广义积分

设D1{（xy）|x2y2R2x0y0}

D2{（xy）|x2y22R2x0y0}

S{（xy）|0xR0yR}

显然D1SD2由于从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

因为

又应用上面已得的结果有

于是上面的不等式可写成

令R上式两端趋于同一极限从而

例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍

其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02acos

93三重积分

一、三重积分的概念

定义设f（xyz）是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n个小闭区域

v1v2vn

其中vi表示第i个小闭区域也表示它的体积在每个vi上任取一点（iii）作乘积f（iii）vi（i12n）并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f（xyz）在闭区域上的三重积分记作即

三重积分中的有关术语——积分号f（xyz）——被积函数f（xyz）dv——被积表达式dv体积元素xyz——积分变量——积分区域

在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则vixiyizi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作

当函数f（xyz）在闭区域上连续时极限是存在的

因此f（xyz）在上的三重积分是存在的以后也总假定f（xyz）在闭区域上是连续的

三重积分的性质与二重积分类似

比如

其中V为区域的体积

二、三重积分的计算

1利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为

z1（xy）zz2（xy）y1（x）yy2（x）axb

则

其中D:

y1（x）yy2（x）axb它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示

设空间闭区域可表为

计算

基本思想

对于平面区域Dy1（x）yy2（x）axb内任意一点（xy）将f（xyz）只看作z的函数在区间[z1（xy）z2（xy）]上对z积分得到一个二元函数F（xy）

然后计算F（xy）在闭区域D上的二重积分这就完成了f（xyz）在空间闭区域上的三重积分

例1计算三重积分其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域

解作图区域可表示为:

0z1x2y0x1

讨论其它类型区域呢?

有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域{（xyz）|（xy）Dzc1zc2}其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有

例2计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域

解空间区域可表为:

czc

练习

1将三重积分化为三次积分其中

（1）是由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域

（2）是双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域

（3）其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

2将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式其中由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域

2利用柱面坐标计算三重积分

设M（xyz）为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P（）则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、、z的变化范围为

0<

02<

z<

坐标面00zz0的意义

点M的直角坐标与柱面坐标的关系

xcosysinzz

柱面坐标系中的体积元素dvdddz

简单来说dxdydddxdydzdxdydzdddz

柱面坐标系中的三重积分