第六章实二次型Word文档下载推荐.docx

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定义2只含有完全平方项的二次型，称为二次型的标准形．形如的二次型称为二次型的规范形．

二、二次型的矩阵表示形式

对实二次型（6.3），有

，

记，则实二次型可表示为

，　　　　　　（6.4）

其中为实对称矩阵，叫做二次型的矩阵，也把叫做实对称矩阵的实二次型．

总之，任给一个实二次型，可以唯一确定一个实对称矩阵；

反之，任给一个实对称矩阵，也可以唯一确定一个实二次型，它们之间是一一对应关系．因此，我们把实对称矩阵的秩，称为二次型的秩．

　　例1写出二次型的矩阵及矩阵表示式，并求该二次型的秩．

解二次型的矩阵为，则二次型的矩阵表示式

．

又，所以，则二次型的秩也等于３．

思考题一

1．对于矩阵，，有

　　试问二次型的矩阵是还是矩阵？

为什么？

2．请思考怎样快速写出给定二次型的矩阵；

请针对定义２中二次型的标准形和规范形，写

　　出其二次型的矩阵．

第二节化实二次型为标准型

通常将二次型转化为标准型的方法有配方法，正交变换法和初等变换法，本节我们着重讲述前两种方法．

一、线性变换

变量与变量的关系式

　　　　　　（6.5）

称为由变量到变量的线性变换，其中是实数．令

则矩阵称为由变量到变量的线性变换矩阵，且（6.5）可表示为

．　　　　　　　　（6.6）

若为可逆矩阵，则（6.6）称为可逆线性变换（或非退化的线性变换）．若为正交矩阵，则（6.6）称为正交变换．

如果为正交变换，则

即正交变换保持向量的长度不变．

二、用配方法化二次型为标准形

１、二次型中含有完全平方项情形

例2化二次型为标准形，并求所用的可逆线性变换．

解

，

令即，得可逆线性变换

此时二次型的标准形．

2、二次型中不含有完全平方项情形

例3化二次型为标准形，并求所用的可逆线性变换．

解令即，代入二次型，再配方得

．

令，即，得二次型的标准型为

所用的可逆线性变换为

三、用正交变换法化二次型为标准形

对二次型，作可逆线性变换，得

就是说，若原二次型的矩阵为，那么新二次型的矩阵为，其中是所用可逆线性变换的矩阵．其对应关系是：

　　定义３设均为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同．

显然，矩阵合同满足下面性质：

（1）如果为对称矩阵，则也为对称矩阵．

（2）．

（3）如果与合同，与合同，则与合同．

对于给定二次型，我们主要讨论的问题是找到可逆线性变换，使

则得到了二次型的标准型．问题等价于，已知实对称矩阵，求可逆矩阵，使得为对角矩阵．而对于实对称矩阵，存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为主对角线元素的对角矩阵．因此我们有以下定理：

定理1对任意元实二次型，总存在正交变换，将二次型化为标准形

其中是实二次型的矩阵的个特征值．

例4求一个正交变换，把二次型化为标准形．

解二次型的矩阵．的特征多项式

得的特征值．

当时，解齐次线性方程组，得基础解系，单位化得．

令正交矩阵，于是正交变换，且得二次型的标准形．

例5求一个正交变换，把二次型化为标准形．

解二次型的矩阵．的特征多项式

当时，解齐次线性方程组，得基础解系

正交化得，；

再单位化得

令正交矩阵=，于是正交变换，且得二次型的标准形．

思考题二

1．利用配方法化二次型为标准形的步骤是什么？

2．总结利用正交化方法化二次型为标准形的步骤，需要注意什么问题?

3．若矩阵与对称矩阵合同，矩阵一定是对称矩阵吗？

第三节正定二次型

定理2（惯性定理）设实二次型的秩为，若有可逆变换及，使得

和，

则中正数的个数与中正数的个数相等，负数个数也相等．其中正数的个数称为正惯性指数，记为；

负数的个数称为负惯性指数，记为，且有．

定义4实二次型称为正定二次型，如果对任何，都有．正定二次型的矩阵称为正定矩阵．实二次型称为负定二次型，如果对任何，都有．负定二次型的矩阵称为负定矩阵．

定理3元实二次型正定的充分必要条件是：

它的标准形的个系数全为正，即它的正惯性指数．

证存在可逆线性变换，使．

充分性：

设，．任给向量，因为可逆，所以，

故，即二次型为正定的．

必要性：

用反证法．假设有．当，即时，，其中是第个分量为1其余分量都为的n维单位向量．与正定矛盾．

推论实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的特征值全为正．

定理4阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的各阶顺序主子式都为正值，即

阶实对称矩阵为负定矩阵的充分必要条件是的奇数阶顺序主子式都为负值，偶数阶顺序主子式都为正值，即

例6判别二次型的正定性．

解的矩阵为．各阶主子式

故是负定二次型．

例7设为可逆矩阵，．证明二次型是正定二次型．

证显然为实对称矩阵．任给，因为可逆，则，且

所以是正定二次型．

注例7表明：

与单位矩阵合同的矩阵必是正定矩阵．

思考题三

1．给定元实二次型，其中．若全不为零时，

　　有，则为正定二次型，对吗？

2．正定矩阵一定是对称矩阵吗？

3．若矩阵与正定矩阵合同，矩阵也是正定矩阵吗？

4．若3元实二次型的标准形为，请问该二次型是否为正定二次

　　型？

第四节应用举例

一、引例解答

令二次型，其矩阵

的特征多形式，得的特征值

对应的正交单位化特征向量依次为

，，．

则二次型在正交变换下的标准形

因为表示单叶双曲面，所以所讨论二次方程也表示一个单叶双曲面．

二、二次曲线的研究

例8设二次曲线的方程为，试确定其形状．

解先用正交变换把二次型化为标准形．二次型的矩阵

的特征值为1，6，且分别对应的正交单位化的特征向量为，．则在正交变换下，二次型的标准形．

对于二次型可得图6，对于二次型可得图7，并在图7中叠加了图6的坐标．因为正交变换不改变向量的长度，也就是在直角坐标系下不改变图形的形状，所以两个曲线图形是同一椭圆，所不同的是方向的变化．现在分析这一变化产生的原因，针对正交变换，可以看成是图示中的第一组单位正交向量到第二组单位正交向量下的旋转变换（如图6到图7的变化所示），我们通常称这样的方程为标准方程，有利于我们对曲线或曲面进行分类或者刻划曲线的属性．

三、多元函数的最值

例9求函数在条件下的最小值．

解该函数为实二次型，对其作正交变换，将其化为标准形，然后在条件下讨论函数的最小值．

该二次型的矩阵，其特征多项式，其特征值为．

对应于特征值的正交单位化特征向量依次为

，．

，（6.7）

相应地，条件化为，即

．（6.8）

则问题归结为求（6.7）式确定的函数在条件（6.8）下的最小值．此时，显然有

当时，所以在和处取得最小值．

当时，；

当时，．

所以函数在处取得最小值．

习题六

（A）

1．写出下列二次型的矩阵．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

2．已知二次型的秩为2，求．

3．用配方法将下列二次型化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．

4．用正交变换法化二次型为标准形，并写出所用的正交变换．

5．判断下列二次型的正定性．

6．求的取值范围，使二次型为正定

　二次型。

7．判断下列矩阵的正定性．

（1）；

（B）

1．证明：

若矩阵正定，则矩阵的主对角线元素全大于零．

2．已知二次型的秩为2，求参数的值，并问方程表示何种二次曲面．

3．判断二次方程表示何种曲线．

4．求在条件下，二次型的最大值和达到最值的一个单位向量．