第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系Word格式.docx
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(2)几何法:
在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|x1-x2|
=
=|y1-y2|
=.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:
直线l与椭圆C只有一个公共点.( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:
直线l与双曲线C只有一个公共点.( )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:
直线l与抛物线C只有一个公共点.( )
(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),
B(x2,y2)两点,则弦长|AB|=|y1-y2|.( )
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>
0.( )
答案:
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√ (5)×
直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离D.不确定
解析:
选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
选C.双曲线-=1的渐近线方程为y=±
x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k∈.
过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
选C.过(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线有2条,过(0,1)与对称轴平行的直线有一条,这三条直线与抛物线都只有一个公共点.
过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则·
的值为( )
A.-B.-
C.-4D.无法确定
选B.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为
y=kx-,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,
由此得所以·
x1x2+y1y2=x1x2+=
(k2+1)·
x1x2-k(x1+x2)+=
-(k2+1)-k·
(-k)+=-.故选B.
过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=________.
过A(1,0)且倾斜角为的直线方程为y=x-1,
代入y2=2x得x2-4x+1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x2=4,x1x2=1,
所以|MN|=|x1-x2|=
·
=·
=2.
2
直线与圆锥曲线的位置关系
[学生用书P167]
[典例引领]
已知直线l:
y=2x+m,椭圆C:
+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点;
(2)有且只有一个公共点.
(3)没有公共点.
【解】 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×
9×
(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ>
0,即-3<
m<
3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.
(2)当Δ=0,即m=±
3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<
0,即m<
-3或m>
3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;
若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.
[通关练习]
1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )
A.1 B.1或3
C.0D.1或0
选D.由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,则y=2,符合题意.
若k≠0,则Δ=0,
即64-64k=0,解得k=1,
所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k=0或1.
2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围为( )
A. B.
C.D.
选D.由消去y,
得(1-k2)x2-4kx-10=0,
因为直线与双曲线右支交于不同的两点,
所以
解得-<
k<
-1.
弦长问题[学生用书P167]
(2018·
贵阳检测)设椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点均为原点O,C1,C2的焦点均在x轴上,在C1,C2上各取两个点,将其坐标记录于表格中:
x
3
-2
4
y
-4
-
(1)求C1,C2的标准方程;
(2)过C2的焦点F作斜率为k的直线l,与C2交于A,B两点,与C1交于C,D两点,若=,求直线l的方程.
【解】
(1)由题意知(-2,0),(,-)在椭圆上,
(3,-2),(4,-4)在抛物线上,
设C1:
+=1(a>
b>
0),
则=1,+=1,
解得a=2,b=,
所以C1的标准方程为+=1.
设抛物线C2的方程为y2=2px(p>
则(-4)2=2p×
4,
解得p=2,
所以C2的标准方程为y2=4x.
(2)由
(1)知F(1,0)是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,设l:
y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
D(x4,y4),将l:
y=k(x-1)代入抛物线方程y2=4x,
整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
当k≠0时,Δ=[-(2k2+4)]2-4k2·
k2>
0恒成立,
所以x1+x2=,x1·
x2=1.
所以|AB|==,
将l:
y=k(x-1)代入椭圆方程+=1,
整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0
Δ=(-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)>
所以x3+x4=,x3·
x4=,
所以|CD|==,
因为=,
所以==+=,
所以k2=3,
即k=±
,
所以直线l的方程为y=±
(x-1).
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长;
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算;
(3)涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求b的值.
解:
(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.
(2)设直线l的方程为y=x+c,其中c=.
A(x1,y1),B(x2,y2),
则A,B两点坐标满足方程组
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
则x1+x2=,
x1x2=.
因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,
即=|x2-x1|.
则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,因为0<b<1.所以b=.
中点弦问题(高频考点)
[学生用书P168]
中点弦问题是每年高考的重点,既有选择题、填空题,也有解答题,难度中等及以上.主要命题角度有:
(1)利用中点弦确定直线或曲线方程;
(2)由中点弦解决对称问题.
角度一 利用中点弦确定直线或曲线方程
(1)已知椭圆E:
0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1D.+=1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是________________.
【解析】
(1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a=3,选D.
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),
B(x2,y2),则+=1,且+=1,
两式相减得=-.
又x1+x2=8,y1+y2=4,
所以=-,
故直线l的方程为y-2=-(x-4),
即x+2y-8=0.
【答案】
(1)D
(2)x+2y-8=0
角度二 由中点弦解决对称问题
如图,已知椭圆+y2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
【解】 由题易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入+y2=1,
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
因为直线AB过椭圆的左焦点F,所以方程有两个不等实根,记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则
x1+x2=-,x0=(x1+x2)=-,
y0=k(x0+1)=,
所以AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0).
令y=0,得xG=x0+ky0=-+=-=-+.
因为k≠0,所以-<
xG<
0,所以点G横坐标的取值范围为.
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法:
即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系:
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意:
如果点A,B关于直线l对称,则l垂直直线AB且A,B的中点在直线l上的应用.
如图,已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
(1)由题意知m≠0,
可设直线AB的方程为y=-x+b.
由消去y,得
x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交