高中数学 第二章 函数教学设计教学设计 北师大版必修1Word格式.docx

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①第1～3节是函数的概念和性质；

第4,5节是基本初等函数的性质，可以分为两部分．（答案不唯一）

②本章的知识结构图，如图1所示．（答案不唯一）

图1

思路1

例1求函数y＝

的最大值和最小值．

分析：

把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值．

解：

（判别式法）由y＝

得yx2－3x＋4y＝0，

∵x∈R，∴关于x的方程yx2－3x＋4y＝0必有实数根．

当y＝0时，则x＝0，故y＝0是一个函数值；

当y≠0时，则关于x的方程yx2－3x＋4y＝0是一元二次方程，

则有Δ＝（－3）2－4×

4y2≥0，

∴0＜y2≤

.∴－

≤y＜0或0＜y≤

，

综上所得，－

≤y≤

.

∴函数y＝

的最小值是－

，最大值是

点评：

形如函数y＝

（d≠0），当函数的定义域是R（此时e2－4df＜0）时，常用判别式法求最值，其步骤是：

①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；

②分类讨论m＝0是否符合题意；

③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组

此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．

例2函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1）上有最小值，则函数g（x）＝

在区间（1，＋∞）上一定（　　）．

A．有最小值B．有最大值

C．是减函数D．是增函数

解析：

函数f（x）＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f（x）在开区间（－∞，1）上有最小值，所以直线x＝a位于区间（－∞，1）内，即a＜1.g（x）＝

＝x＋

－2，下面用定义法判断函数g（x）在区间（1，＋∞）上的单调性．

设1＜x1＜x2，则

g（x1）－g（x2）

＝

－

＝（x1－x2）＋

＝（x1－x2）

∵1＜x1＜x2，

∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.

又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.

∴g（x1）－g（x2）＜0.∴g（x1）＜g（x2）．

∴函数g（x）在区间（1，＋∞）上是增函数，函数g（x）在区间（1，＋∞）上没有最值．故选D.

答案：

D

定义法判断函数f（x）的单调性步骤是：

①在所给区间上任取两个变量x1、x2；

②比较f（x1）与f（x2）的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；

③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：

函数f（x）在开区间D上是单调函数，则f（x）在开区间D上没有最大值，也没有最小值．

例3求函数f（x）＝

的单调区间．

函数f（x）是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．

函数的定义域是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

设y＝

，u＝x2－1，

当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝

也是增函数，

又∵函数的定义域是（－∞，－1]∪[1，＋∞），

∴函数f（x）＝

在[1，＋∞）上是增函数．

当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝

在（－∞，－1]上是减函数．

即函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞），单调递减区间是（－∞，－1]．

复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：

“同增异减”，即复合函数y＝f[g（x）]，如果y＝f（u），u＝g（x）有相同的单调性时，函数y＝f[g（x）]为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y＝f这[g（x）]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：

①求复合函数的定义域；

②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；

③依据复合函数的单调性规律口诀：

“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．

注意：

本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞），单调递减区间是（－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．

思路2

例1某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：

①销售量r（x）（件）与衬衣标价x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：

r（x）＝kx＋b1；

在销售淡季近似地符合函数关系：

r（x）＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；

②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；

③若称①中r（x）＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．

请根据上述信息，完成下面问题：

（1）填写表格中空格的内容：

（2）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？

（1）销售总利润y＝销售量r（x）×

每件利润，每件利润＝标价－进价；

（2）转化为求二次函数y＝f（x）的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．

（1）在销售旺季，y＝（kx＋b1）（x－100）＝kx2－（100k－b1）x－100b1；

在销售淡季，y＝（kx＋b2）（x－100）＝kx2－（100k－b2）x－100b2，

故表格为：

如下表所示．

（2）∵k＜0，b1＞0，b2＞0，

∴－

＞0，－

＞0.

∴50－

＞0,50－

则在销售旺季，y＝kx2－（100k－b1）x－100b1，∴当x＝

＝50－

时，利润y取最大值；

在销售淡季，y＝kx2－（100k－b2）x－100b2，∴当x＝

时，利润y取最大值．

由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．

因此在销售旺季，当标价x＝50－

＝140时，利润y取最大值．∴b1＝180k.

∴此时销售量为r（x）＝kx－180k.令kx－180k＝0，得x＝180，

即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．

∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×

＝120元/件．

可见在销售淡季，当标价x＝120元/件时，销售量为r（x）＝kx＋b2＝0.

∴120k＋b2＝0.

∴

＝－120.

∴在销售淡季，当标价x＝50－

＝50＋60＝110元/件时，利润y取得最大值．

即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．

在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：

①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；

②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；

③利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果；

④将所得结果再转译成具体问题的答案．

例2求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值．

思路1：

画出函数的图像，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；

思路2：

利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：

数轴上到±

2两点的距离和的最小值．

方法1（图像法）：

y＝|x＋2|－|x－2|＝

其图像如图2所示．

图2

由图像得，函数的最小值是－4，最大值是4.

方法2（数形结合）：

函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：

y是数轴上任意一点P到±

2的对应点A、B的距离的差，即y＝|PA|－|PB|，如图3所示，

图3

观察数轴可得－|AB|≤|PA|－|PB|≤|AB|，

即函数y＝|x＋2|－|x－2|有最小值－4，最大值4.

求函数最值的方法：

图像法：

如果能够画出函数的图像，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图像写出最值．其步骤是：

①画函数的图像；

②观察函数的图像，找出图像的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；

③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．

数形结合：

如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：

①对函数的解析式赋予几何意义；

②将函数的最值转化为几何问题；

③应用几何知识求最值．

例3定义在（－1,1）上的函数f（x）满足：

对任意x，y∈（－1,1），都有f（x）＋f（y）＝f

（1）求证：

函数f（x）是奇函数；

（2）若当x∈（－1,0）时，有f（x）＞0，求证：

f（x）在（－1,1）上是减函数．

（1）定义法证明，利用赋值法获得f（0）的值进而取x＝－y是解题关键；

（2）定义法证明，其中判定

的范围是关键．

证明：

（1）函数f（x）定义域是（－1,1），

由f（x）＋f（y）＝f

，令x＝y＝0，得f（0）＋f（0）＝f

∴f（0）＝0.

令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝f

＝f（0）＝0，

∴f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

（2）先证f（x）在（0,1）上单调递减，令0＜x1＜x2＜1，则

f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f

＝f

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x2－x1＞0,1－x1x2＞0.

又（x2－x1）－（1－x1x2）＝（x2－1）（x1＋1）＜0，

∴0＜x2－x1＜1－x1x2.

∴－1＜－

＜0，由题意知f

＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（0,1）上为减函数．

又f（x）为奇函数，

∴f（x）在（－1,1）上也是减函数．

对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；

判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．

1．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1和f（x＋1）－f（x）＝2x.

（1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间[－1,1]上的最大值和最小值．

（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（