超几何分布一词来源的解释为什么叫超几何分布.docx

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超几何分布一词来源的解释为什么叫超几何分布

“超几何分布”一词来源的解释——为什么叫超几何分布？

“超几何分布”一词来源的解释——为什么叫超几何分布？

“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。

几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释 

几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。

其中一种定义为：

在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。

这种分布像二项分布，但它不是发生几次的概率，而是只发生在最后一次的概率。

比如射击前9次没中，最后一次射中，这种情况发生的概率。

几何分布在高中已经不学，我也是听我的老师给我解释的。

这里的概率公式像等比数列的通项公式，变量取不同值时对应的概率值形成了一个等比数列。

Hypergeometric series

In mathematics, the term hypergeometric series, first used by John Wallis （1655）, means a series such that the ratio of two successive terms is a simple function of the index.

超几何级数

在数学上，超几何级数一词在1655年第一次被John Wallis使用，该级数的每一项与其前一项之比为关于下脚标（也可译为指数）的简单函数。

Hypergeometric series 

A hypergeometric series is a series for which c0=1 and the ratio of consecutive terms is a rational function of the summation index.

超几何级数

超几何级数是首项为1的级数，并且该级数每一项与其前一项之比为关于下脚标（也可译为指数）的有理函数。

上面两个定义，前者来源于英文维基百科，后者来源于Wolfram MathWorld，定义区别主要是首项是否为1。

还有级数是数列各项之和，所以级数里的项与数列里的项是一个意思，这个定义可以是超几何数列的定义。

如果改成“每一项与其前一项之比为一个常数”，那这个定义就是等比数列，也就是几何数列的定义了。

超几何数列是几何数列的推广，让我们举例来看它们的不同。

一个首项为1公比为5的几何数列，写为1,5,25,125,625……而一个首项为1，公比为5+n的超几何数列，n为项数，也就是第几项，前面提到的下脚标，那么会写成1,6,42,336,3024……看看下面的递推公式就更清楚了。

由于比值不再是一个常数，而与项数n有关，第二项变成了1*（5+1），第三项成了1*（5+1）*（5+2），依次类推。

并且通项公式也会不同，可以自己求一求。

我们同样也可以由通项公式求公比和首项，你可以试一试，令n为n+1、n相比得到公比，令n为1得到首项。

我们可以注意到通项公式里有关于变量n的阶乘形式的，这样的数列就会是一个超几何数列。

有了这些例子，我想超几何分布就不是什么难题了，如下。

令m为0、m+1、m求得首项和公比。

因为公比是一个关于下脚标m的函数，依据超几何数列的定义，我们可以知道该数列为超几何数列。

说明

1.这里的C（n,r）形式表示从n个中取r个的组合数，与课本略有不同。

2.如果按维基百科的定义首项可以不为1，如果按Wolfram MathWorld的定义，可将A0的值看作常数，首项仍为1，用通项公式求得某项值后要与常数相乘，也就是说Wolfram MathWorld的定义认为在超几何分布中由变量m不同取值得到的概率值形成的数列是一种超几何数列的变形。

3.这里的字母含义按照人教版高中数学选修2-3B版，07年第二版的规定。

N表示所有物品总数，M表示某类物品数量，n表示从所有物品中抽取数量，m表示被抽取的物品中含这类物品的数量。

4. 按Wolfram MathWorld的定义，公比分母里必须有（n+1）项，所以我不知道例子里的递推公式是否该写成这样

感想

我只是一个高中学生，问了老师，查了网上，问了网上的学生、老师，都没有结果。

看起来大学生学习他们的高斯超几何方程，高中生学习他们的超几何分布，没有哪不好，没人注意这种联系。

这个词语的解释并不需要大学的物理或数学知识，只是看你愿不愿意去做，你不去做，即使你掌握了大学知识，也不会知道两者的联系。

限制人的不只是学到的技能、手中的工具，还有人的态度。

附上Wolfram MathWorld超几何分布条目中介绍的其与超几何函数的联系，作为判断名词来源的依据。

这篇文章我还询问了XX用户dxydeng12、path2math，我是通过XX知道和搜索引擎认识他们的，感谢他们的解答，附path2math对我问题的回复及相关链接作为参考来源。

超几何数列，Hypergeometric series，定义如下：

数列 t_0, t_1, ... , t_k, t_{k+1}, ... 如果满足条件 t_0=1, 且对于任意的k, 有

t_{k+1} / t_k = P（k）/Q（k） 其中 P（k） 与 Q（k） 是给定的关于 k 的多项式

就称其为超几何数列。

这是几何数列的一种推广。

在几何数列的情况下， t_{k+1} / t_k 是一个常数。

基本上其它带“超几何”字眼的名词都是由此衍生而来。

index 是下标的意思。

比如数列 t_0, t_1, ... , t_k, t_{k+1}, ... 这里用 k 表示下标。

所以" a simple function of the index" 下标的一个简单的函数。

" a rational function of the summation index" 级数的下标的有理函数。

" t_0=1"意思确实是数列首项为1，然后后一项与前一项的比是两个多项式的比，这两个多项式是k的多项式。

你理解地很对。

一个例子比如t_{k+1} / t_k = （k+1/2）/k，这时超几何数列为

1, （3/2）/1!

 （3/2）*（5/2）/2!

 （3/2）*（5/2）*（7/2）/3!

 ...

这里 n!

 表示 n 的阶乘。

pFq [a_1,...,a_p; b_1,...,b_q; x] 表示级数 c_0+c_1*x+c_2*x^2+c_3*x^3+...，其系数 c_0, c_1, c_2, c_3, ... 是超几何数列，满足

c_{k+1}/c_k=（k+a_1）*（k+a_2）*...*（k+a_p）/[（k+b_1）*（k+b_2）*...*（k+b_q）*（k+1）]

这个式子右边的分母中多出来一个莫名其妙的（k+1），这完全是历史原因。

你的问题都很好。

不过你知道的太少了，不必着急，将来到某个阶段自然就会明白。

我简单的回答一下。

1.a、b是多项式被因式分解后的常数项吗？

是的。

2.所有的多项式都能被分解因式吗？

能。

任意多项式P（x）都可写成（x+c_1）（x+c_2）...（x+c_n）的形式。

一般的来说这里的c_1,c_2,...,c_n是复数。

3.分解后的括号个数是有限的吧，省略号只是省略了中间部分？

是的。

4.分母的（k+1）这样写不就不正确了吗，不是所有关于k的多项式都能拆成有（k+1）的项啊，你知道什么历史原因吗？

只要在分子里也乘上一个（k+1）的项就可以抵消了。

这中间的历史原因，因为当初高斯就是这么写的。

高斯那个时候为什么会这么写，我想等你学了泰勒展开之类的“高等”数学之后也能大体领会。

5.如果“t_{k+1} / t_k = 1/2k”只有分母或分子有k也是超几何分布吧。

是的。

6.超几何函数的解析表达式为什么不是f（X） = 的形式而是pFq，中括号里不只有X还有a、b，这是什么表达方法？

这个没什么理由。

记号其实怎么都可以。

各个国家，各个地方，各个领域，每个人都有细微的差别，只要互相明白。

超几何级数、超几何分布、超几何函数在Wolfram MathWorld、Wikipedia中的条目