专题24 数学思想方法押题专练高考理数二轮复习精品资料解析版Word格式.docx

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（2）求{an}前n项和Sn的最大值．

4、设椭圆中心在坐标原点，A（2,0），B（0,1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k>

0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（1）若＝6，求k的值；

（2）求四边形AEBF面积的最大值．

解　

（1）依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k>

0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1<

x2，且x1，x2满足方程（1＋4k2）x2＝4，故x2＝－x1＝.①

由＝6知x0－x1＝6（x2－x0），

得x0＝（6x2＋x1）＝x2＝；

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.

所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，

解得k＝或k＝.

5．设a，b∈R且b≠0，若复数（a＋bi）3是实数，则a、b满足的关系式为________．

答案　b2＝3a2

解析　（a＋bi）3＝（a＋bi）2（a＋bi）

＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i

＝（a3－3ab2）＋（3a2b－b3）i，

因（a＋bi）3是实数且b≠0，

所以3a2b－b3＝0⇒b2＝3a2.6．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．

答案　2

解析　可设BC＝x，则AC＝x，

根据面积公式得S△ABC＝x，

由余弦定理计算得cosB＝，

代入上式得S△ABC＝x

＝.

由得2－2<

x<

2＋2.

故当x＝2时，S△ABC最大值为2.

7．设a>

1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，这时，a的取值的集合为________．

8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

答案　[1，＋∞）

解析　以AB为直径的圆的方程为x2＋（y－a）2＝a，

由

得y2＋（1－2a）y＋a2－a＝0.

即（y－a）[y－（a－1）]＝0，

则由题意得解得a≥1.

9．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，那么，不等式f（x＋2）<

5的解集是________．

答案　{x|－7<

3}

解析　令x<

0，则－x>

0，∵x≥0时，f（x）＝x2－4x，∴f（－x）＝（－x）2－4（－x）＝x2＋4x，又f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴x<

0时，f（x）＝x2＋4x，故有f（x）＝再求f（x）<

5的解，由得0≤x＜5；

由得－5<

0，即f（x）<

5的解集为（－5,5）．由于f（x）向左平移两个单位即得f（x＋2），故f（x＋2）<

5的解集为{x|－7<

3}．

10．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC＋sin（B－A）＝2sin2A，求△ABC的面积．

11．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144.

（1）求数列{an}的通项an；

（2）设数列{bn}的通项bn＝，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．

解　

（1）∵{an}是等差数列，

a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，

∴S10＝145，∴S10＝，

∴a10＝28，∴公差d＝3.

∴an＝3n－2（n∈N*）．

12．已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的一个顶点为A（2,0），离心率为.直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）当△AMN的面积为时，求k的值．

解　

（1）由题意得解得b＝.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）由得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1＋x2＝，

x1x2＝.

所以MN＝

＝

又因为点A（2,0）到直线y＝k（x－1）的距离

d＝，

所以△AMN的面积为

S＝MN·

d＝.

由＝，解得k＝±

1.

所以，k的值为1或－1.

13．设关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间（0,2π）内有相异的两个实根α、β.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求α＋β的值．

解　

（1）原方程可化为sin（θ＋）＝－，作出函数y＝sin（x＋）（x∈（0,2π））的图象．

由图知，方程在（0,2π）内有相异实根α，β的充要条件

是

即－2＜a＜－或－＜a＜2.

14．设有函数f（x）＝a＋和g（x）＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．

解　f（x）≤g（x），

即a＋≤x＋1，

变形得≤x＋1－a，

令y1＝，①

y2＝x＋1－a.②

15.　已知函数f（x）＝x3－3ax－1，a≠0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝3x2－3a＝3（x2－a），

当a<

0时，对x∈R，有f′（x）>

0，

∴当a<

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）；

当a>

0时，由f′（x）>

0，解得x<

－或x>

，

由f′（x）<

0，解得－<

∴当a>

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，－），（，＋∞）；

单调减区间为（－，）．

（2）∵f（x）在x＝－1处取得极值，

16.已知实数x，y满足则的最大值为________．

解析　画出不等式组

对应的平面区域Ω为图中的四边形ABCD，＝表示的平面区域Ω上的点P（x，y）与原点的连线的斜率，显然OA的斜率最大．

17.已知P是直线l：

3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

解　

18．已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线的方程；

（2）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m,0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

解　

（1）抛物线y2＝2px的准线为x＝－，

由题意得4＋＝5，所以p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x.

（2）由题意知，圆M的圆心为点（0,2），半径为2.

当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，

此时，直线AK与圆M相离；

当m≠4时，由

（1）知A（4,4），

则直线AK的方程为y＝（x－m），

即4x－（4－m）y－4m＝0，

圆心M（0,2）到直线AK的距离

令d>

2，解得m>

所以，当m>

1时，直线AK与圆M相离；

当m＝1时，直线AK与圆M相切；

当m<

1时，直线AK与圆M相交．

19．设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－（2a＋1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）＝的a的值，并求此时函数的最大值．

当>

1，即a>

2时，

函数y在t∈[－1,1]上是单调递减，

所以f（a）＝f

（1）＝－4a＋1＝，

解得a＝，这与a>

2矛盾；

当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，

f（a）＝－－2a－1＝，

即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，

因为－2≤a≤2，所以a＝－1.

所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以当t＝1时，

函数取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.

20．已知a是实数，函数f（x）＝（x－a）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设g（a）为f（x）在区间[0,2]上的最小值．

①写出g（a）的表达式；

②求a的取值范围，使得－6≤g（a）≤－2.

解　

（1）函数的定义域为[0，＋∞），

f′（x）＝＋＝（x>

0）．

若a≤0，则f′（x）>

0，f（x）有单调递增区间[0，＋∞）．

若a>

0，令f′（x）＝0，得x＝，

当0<

时，f′（x）<

当x>

时，f′（x）>

0.

f（x）有单调递减区间[0，]，有单调递增区间（，＋∞）．

21.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn.

解　

（1）设数列{an}的公差为d，

由已知，得解得

故an＝3－（n－1）＝4－n.

（2）由

（1）可得bn＝n·

qn－1，

于是Sn＝1·

q0＋2·

q1＋3·

q2＋…＋n·

qn－1.

若q≠1，将上式两边同时乘以q，得

qSn＝1·

q1＋2·

q2＋…＋（n－1）·

qn－1＋n·

qn.

两式相减，得（q－1）Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1

＝nqn－＝.

于是，Sn＝.

若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.

综上，Sn＝

22.设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，求的值．

23.已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值．

解　函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a

＝－（x－a）2＋a2－a＋1，

对称轴方程为x＝a.

（1）当a<

0时，f（x）max＝f（0）＝1－a，

∴1－a＝2，∴a＝－1.

（2）当0≤a≤1时，f（x）max＝f（a）＝a2－a＋1，

∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，

∴a＝（舍）．

（3）当a>

1时，f（x）max＝f

（1）＝a，∴a＝2.

综上可知，a＝－1或a＝2.

24.设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的值．

25．f（x）＝x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：

|f（x1）－f（x2）|≤.

证明　∵f′（x）＝x2－1，当x∈[－1,1]时，f′（x）≤0，

∴f（x）在[－1,1]上递减．

故f（x）在[－1,1]上的最大值为f（－1）＝，

最小值为f

（1）＝－，

即f（x）在[－1,1]上的值域为[－，]．

所以x1，x2∈[－1,1]时，|f（x