高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法文档格式.docx

高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法文档格式.docx

《高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习知识点归纳与总结数学归纳法文档格式.docx（96页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．0

解析：

选C　∵n≥3，∴x步应检验n＝3.

2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（　　）

A．k2＋1

B．（k＋1）2

C.

D．（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2

选D　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，

左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋…＋（k＋1）2，

∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上

（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2.

3．利用数学归纳法证明“（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n×

1×

3×

…×

（2n－1），n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是（　　）

A．2k＋1B．2（2k＋1）

C.D.

选B　当n＝k（k∈N*）时，

左式为（k＋1）（k＋2）…（k＋k）；

当n＝k＋1时，左式为（k＋1＋1）·

（k＋1＋2）·

…·

（k＋1＋k－1）·

（k＋1＋k）·

（k＋1＋k＋1），

则左边应增乘的式子是＝2（2k＋1）．

4．（教材习题改编）用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<

n（n∈N，且n>

1），x步要证的不等式是________．

当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，

右边＝2，故填1＋＋<

2.

答案：

1＋＋<

2

5．记凸k边形的内角和为f（k），则凸k＋1边形的内角和f（k＋1）＝f（k）＋________.

由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形．

π

用数学归纳法证明等式

[例1]　n∈N*，求证：

1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

[自主解答]　

（1）当n＝1时，左边＝1－＝，

右边＝＝.左边＝右边．

（2）假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，

则当n＝k＋1时，

＋

＝＋

＝＋＋…＋＋.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

综合

（1），

（2）可知，对一切n∈N*，等式成立．

———————————————————

用数学归纳法证明等式应注意的问题

（1）用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．

（2）由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．

1．求证：

x＋22＋…＋n2＝.

证明：

（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左边＝右边，等式成立；

（2）假设n＝k（k∈N*，且k≥1）时，等式成立，

即x＋22＋…＋k2＝，

则当n＝k＋1时，x＋22＋…＋k2＋（k＋1）2

＝＋（k＋1）2

＝，

所以当n＝k＋1时，等式仍然成立．

由

（1）、

（2）可知，对于∀n∈N*等式恒成立．

用数学归纳法证明不等式

[例2]　已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.

求证：

当n∈N*时，an<

an＋1.

[自主解答]　

（1）当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1<

a2.

（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，0≤ak<

ak＋1，

则由a－a

＝（a＋ak＋2－1）－（a＋ak＋1－1）

＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）>

0，

得ak＋1<

ak＋2，

即当n＝k＋1时，an<

an＋1也成立．

根据

（1）和

（2），可知an<

an＋1对任何n∈N*都成立．

把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an<

－1”，其余条件不变，求证：

当n∈N*时，an＋1<

an.

（1）当n＝1时，∵a2是a＋a2－1＝0的负根，

∴a1>

（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，ak＋1<

ak，

∵a－a＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1），ak＋1<

ak≤0，

∴a－a>

又∵ak＋2＋ak＋1＋1<

－1＋（－1）＋1＝－1，

∴ak＋2－ak＋1<

0，∴ak＋2<

即当n＝k＋1时，命题成立．

由

（1）

（2）可知，当n∈N*时，an＋1<

an.　　　　

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

（1）当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

（2）用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差（求商）比较法、放缩法等证明．

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r（b>

0且b≠1，b，r均为常数）的图象上．

（1）求r的值；

（2）当b＝2时，记bn＝2（log2an＋1）（n∈N*），证明：

对任意的n∈N*，不等式·

·

>

成立．

解：

（1）由题意，Sn＝bn＋r，

当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.

所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1（b－1）．

由于b>

0且b≠1，

所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．

又a1＝b＋r，a2＝b（b－1），

故＝b，即＝b，解得r＝－1.

（2）证明：

由

（1）知an＝2n－1，

因此bn＝2n（n∈N*），

所证不等式为·

.

①当n＝1时，左式＝，右式＝，

左式>

右式，所以结论成立．

②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即

，则当n＝k＋1时，

要证当n＝k＋1时结论成立，

只需证≥，

即证≥，

由均值不等式＝≥成立，

故≥成立，

所以，当n＝k＋1时，结论成立．

由①②可知，n∈N*时，不等式·

成立.

“归纳—猜想—证明”问题

[例3]　已知f（n）＝1＋＋＋＋…＋，

g（n）＝－，n∈N*.

（1）当n＝1,2,3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；

（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

[自主解答]　

（1）当n＝1时，f

（1）＝1，g

（1）＝1，所以f

（1）＝g

（1）；

当n＝2时，f

（2）＝，g

（2）＝，所以f

（2）<

g

（2）；

当n＝3时，f（3）＝，g（3）＝，所以f（3）<

g（3）．

（2）由

（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明．

①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，

②假设当n＝k（k≥3）时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋<

－.

那么，当n＝k＋1时，f（k＋1）＝f（k）＋<

－＋.

因为－＝－＝<

所以f（k＋1）<

－＝g（k＋1）．

由①②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．

归纳—猜想—证明类问题的解题步骤

（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．

（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．

3．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….

（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.

（1）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，

由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，

由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，

由此猜想an的一个通项公式：

an＝n＋1（n≥1）．

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．

②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，

那么，ak＋1＝ak（ak－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3，

也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥（k＋1）＋2.

根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2.

1种方法——寻找递推关系的方法

（1）在x步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．

（2）探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．

（3）在书写f（k＋1）时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．

4个注意点——应用数学归纳法应注意的问题

（1）数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考试题中经常出现．

（2）数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：

①必须利用归纳假设作基础；

②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；

③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．

（3）数学归纳法证题时，x个值n0不一定为1，如证明多边形内角和定理（n－2）π时，初始值n0＝3.

（4）解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.

易误警示——应用数学归纳法解决证明问题的易误点

[典例]　（x·

九江模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>

0（n∈N*）．

（1）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

（2）设x>

0，y>

0，且x＋y＝1，证明：

＋≤.

[解]　

（1）分别令n＝1,2,3，得

∵an>

0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.

猜想：

an＝n.

由2Sn＝a＋n，①

可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋（n－1）．②

①－②，得2an＝a－a＋1，

即a＝2an＋a－1.

（ⅰ）当n＝2时，a＝2a2＋x－1，

∵a2>

0，∴a2＝2.

（ⅱ）假设当n＝k（k≥2）时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，

a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1

⇒[ak＋1－（k＋1）][ak＋1＋（k－1）]＝0，

∵ak＋1>

0，k≥2，∴ak＋1＋（k