届广东省珠海市高三上学期期末学业质量监测理科数学试题及答案Word格式.docx

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，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：

则圆截直线所得弦长为

15．（几何证明选讲选做题）如右图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则.

三、解答题:

本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．

16.（三角函数）已知，

（1）求的值；

（2）当时，求的最值.

解:

（1）…………………………………………………………………1分

……………………………………………………………………………2分

…………………………………………………………………………………4分

………………………………………………………………6分

（2），……………………………………………………………8分

…………………………………………………………………………10分

…………………………………………………………………………11分

，……………………………………………………………………12分

17.（概率）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。

我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；

在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；

在75微克/立方米以上空气质量为超标。

某试点城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；

（2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到PM2.5监测数

据超标的天数，求的分布列及数学期望；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年

（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

解：

（1）由茎叶图可得中位数是…………………………………………………………………2分

（2）依据条件，服从超几何分布：

其中，的可能值为……………………………………………3分

由，

得，………………………………………………………………4分

，………………………………………………………………5分

，………………………………………………………………6分

所以的分布列为：

…………………………………………8分

………………………………………………………………10分

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为

一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则～………………………………11分

一年中平均有天的空气质量达到一级或二级………………………………………………12分

18.（立几）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，

（1）求证：

面；

（2）求二面角的余弦值；

（1）在中，，，

满足，所以，即…………………………………………2分

又因为四边形为矩形，所以

又，所以ks5u

又因为，所以………………………………………………………4分

又因为四边形为菱形，所以

又，所以………………………………………………………6分

（2）过作于，连接

由第

（1）问已证

又，所以，

又因为，所以

所以，就是二面角的平面角…………………………………………………………10分

在直角中，，，，…………………………12分

在直角中，，，，所以………………14分

19.（数列）设数列的各项都是正数，且对任意都有，其中

为数列的前项和.ks5u

（1）求；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

（1）令，则，即，所以或或

又因为数列的各项都是正数，所以…………………………………………………2分

令，则，即，解得或或

又因为数列的各项都是正数，所以…………………………………………………4分

（2）

由得

化简得到……………………………………………………………………7分

化简得到，即

当，所以………………………………………………9分

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列

……………………………………………………………10分

（3）

因为对任意的，都有恒成立，即有

化简得……………………………………………………………………………12分

当为奇数时，恒成立，，即

当为偶数时，恒成立，，即

…………………………………………………………………………………………14分

20.（导数）已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围

（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（1）当时，

……………………………………………………………………1分

解得；

解得…………………………………………………………2分

故的单调递增区间是，单调递减区间是……………………………………………3分

（2）因为函数在区间上为减函数，

所以对恒成立……………………………………………4分

即对恒成立…………………………………………………………5分

………………………………………………………………………………………………6分

（3）因为当时，不等式恒成立，

即恒成立，设，

只需即可…………………………………………………………………………………7分

由

①当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立…………………………………………………………………………………………9分②当时，令，因为，所以解得

1）当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，故在上无最大值，不合题设。

2）当时，即时，在区间上；

在区间上．

函数在上单调递减，在区间单调递增，同样在无最大值，不满足条件。

……………………………………………………11分

③当时，由，故，，故函数在上单调递减，故成立………………………………………………………………………13分综上所述，实数的取值范围是……………………………………………………………………14分

21．（圆锥曲线）已知椭圆的左、右焦点分别为，为原点.

（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；

（2）如图2，直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．

（1）由已知得，

设,则的中点为

，……………………………………………………………………………3分

即

整理得……………………①………………………………………………………4分又有…………………………………②

由①②联立解得或（舍）………………………………………………………5分点到轴的距离为……………………………………………………………………………6分

（2）设，，

四边形是平行四边形

线段的中点即为线段的中点，即，………………………………7分

点在椭圆上，

化简得……………………………③

…………………………………………………9分

由得……………………………………④

且…………………………………………………11分

代入③式得

整理得代入④式得，又

或

的取值范围是……………………………………………14分

ks5u