期望方差公式方差和期望公式Word文件下载.docx

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定义2期望：

假设离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P〔ξ=xi〕=Pi〔i=1，2，…，n，…〕，那么称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

〔1〕设C是常数，那么E（C）=C。

〔2〕假设k是常数，那么E（kX）=kE（X）。

〔3〕

。

三、方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它表达了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：

称Dξ=∑〔xi－Eξ〕2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.

叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X的数学期望

存在，假设

存在，那么称

为随机变量X的方差，记作

，即

方差的算术平方根

称为随机变量X的标准差，记作

由于

与X具有一样的度量单位，故在实际问题中经常使用。

Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，假设X的取值相对于其数学期望比拟集中，那么其方差较小；

假设X的取值相对于其数学期望比拟分散，那么方差较大。

假设方差

=0，那么随机变量X以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X的函数

的数学期望，故

当X离散时,X的概率函数为

；

当X连续时，X的密度函数为

求证方差的一个简单公式：

公式1：

证明一：

证明二：

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

〔1〕设C是常数,那么D（C）=0。

〔2〕假设C是常数,那么

〔3〕假设

与

独立，那么

公式2：

证由数学期望的性质及求方差的公式得

可推广为：

假设

，…，

相互独立，那么

〔4〕D（X）=0

P（X=C）=1，这里C=E（X）。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

〔一〕离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

〔1〕pi≥0，i＝1，2，…；

〔2〕p1＋p2＋…＝1。

2．离散型随机变量期望和方差的性质：

E（a

＋b）＝aE

＋b，D（a

＋b）＝a2D

（1）公式3：

E〔aξ+b〕=aEξ+b，

证明：

令

为常数

也为随机变量

所以

的分布列为

…

说明随机变量

的线性函数

的期望等于随机变量

期望的线性函数

（2）公式4：

D〔aξ+b〕=a2Dξ〔a、b为常数〕.

证法一：

因为

所以有：

证毕

证法二：

Dξ=

.

E（aξ＋b）＝aEξ＋b，D（aξ+b）=a2Dξ．

〔二〕二项分布公式列举及证明

1．二项分布定义：

假设随机变量

的分布列为：

P（

＝k）＝kpkqn-k。

〔k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，那么称

服从二项分布，记作

~B（n，p），其中n、p为参数，并记kpkqn-k=b（k；

n，p）。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。

即：

〔1〕P（

＝k）＝kpkqn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；

〔2〕

＝k）＝

kpkqn-k＝（p＋q）n＝1。

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

3．服从二项分布的随机变量

的期望与方差公式：

假设ξ～B〔n，p〕，那么Eξ=np，Dξ=npq〔q=1－p〕.

（3）公式5：

求证：

Eξ=np

方法一：

在独立重复实验中，某结果发生的概率均为

〔不发生的概率为

，有

〕，那么在

次实验中该结果发生的次数

的概率分布为

服从二项分布的随机变量

的期望

.证明如下：

预备公式

因为

=

得证

方法二：

，那么X表示n重贝努里试验中的“成功〞次数，现在我们来求X的数学期望。

假设设

i=1,2，…，n

那么

，因为

，

所以

，那么

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式6

的方差公式7：

Dξ=npq〔q=1－p〕.

由公式1知

设

那么X表示n重贝努里试验中的“成功〞次数。

是n次试验中“成功〞的次数，

，故

相互独立，于是

=np（1-p）。

（三）几何分布的期望与方差的公式列举及证明

1．定义5：

几何分布〔Geometricdistribution〕是离散型概率分布。

定义6：

在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。

，那么〔1〕

，〔2〕

〔1〕几何分布的期望公式8：

假设某射击手击中目标的概率为P，求证：

从射击开场到击中目标所需次数

依题意分布列为

1

2

3

……

由

，知

下面用错位相减法求上式括号内的值。

记

两式相减，得

及

〔可用L'

Hospital法那么证明〕

故

几何分布的方差公式9：

利用导数公式

，推导如下：

上式中令

，那么得

〔2〕为简化运算，利用性质

来推导。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：

，并用倍差法求和，有

因此

证明二: