完整版辅助函数在数学分析上的应用毕业设计Word格式文档下载.docx
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Applicationofauxiliaryfunctioninmathematicalanalysis
Abstract
Functionthoughtsinceancienttimesistheclassicalideasofmathematics,afunctionalapproachofauxiliaryfunctionsasfunctionsoftheimportant,alsomathematicalanalysis.Thisdetailasauxiliaryfunctionoffunction,auxiliaryfunctionofconstructedmethodandauxiliaryfunctioninmathematicsanalysisintheofapplicationthisthreechunksstart,focusesonintroducedauxiliaryfunctionlawinmathematicsanalysisintheofusing,whilealsowillbrieflytodescriptionauxiliaryfunctionlawofdefines,andauxiliaryfunctionofsomecommonconstructedmethodandcanasauxiliaryfunctionoffunction,topioneeringonthisclassproblemofsettlementideas.
Keywords
Auxiliaryfunction,construction,applicationofmathematicalanalysis
目录
1引言1
1.1研究意义1
1.2辅助函数法的定义1
2可作为辅助函数的函数2
2.1单调函数2
2.2Lagrange函数2
3辅助函数的构造方法5
3.1几何法5
3.1.1积分意义法5
3.1.2三点定抛物线法6
3.2原函数法7
3.3微分方程法8
3.4常数分离法9
4辅助函数法在数学分析中的运用11
4.1证明中值定理11
4.2解决有关不等式与等式的问题11
4.2.1不等式的问题11
4.2.2证明等式12
4.3解方程及探讨方程的根12
5结论14
致谢15
参考文献16
1引言
1.1研究意义
在学习数学转化数学问题中，辅助函数法是的一种重要手段，特别在《数学分析》的学习和解题当中我们会经常遇到构造辅助函数来解决相关题目的方法．通过构造辅助函数，我们求解的问题简单化，并且挖掘命题中的隐含条件使其具体化、明显化．这就好像在生活中遇到阻碍，为了清除障碍，我们就会想到通过某种方式或者借助某种手段来克服障碍．构造辅助函数法就是我们不对问题的本身进行求解，而是通过构造一个新的函数，此函数是与我们所求解的命题密切相关且相符的，之后从这个新的函数的角度去观察、分析和解答所要求解问题．作为数学类的相关专业的学生，在学习过程中，注重这种数学思想方法的学习和应用是必须的，如此不仅可以使我们的解题能力得以提高而且还可以提高我们的数学素质．本文从在数学分析中的几类问题出发，介绍构造辅助函数的思想方法在解决相关问题当中的运用[1]．
1.2辅助函数法的定义
定义 辅助函数法就是通过某种方式（或方法）构造恰当的函数，再利用此函数的某种（或几种）性质解决相关问题的方法．
注 辅助函数的性质是运用辅助函数法解决问题的重中之重，应给予足够的重视．
例1 已知函数，若，总有
成立，求实数的取值范围．
简解首先构造辅助函数，且由题意可知函数为定义域内的严格单调递增函数，所以的导函数大于等于零恒成立，再利用变参分离，即可求得实数的取值范围为．
若例1直接运用变参分离的方法进行求解，难度相对来说会比较大，但运用辅助函数法就可以轻易解决．由此辅助函数的构造方向问题也就呈现了出来，寻找函数构造最恰当辅助函数，同时我们也要清楚该辅助函数的性质与功能．
2可作为辅助函数的函数
2.1单调函数
单调函数作为一种常见的函数，其中绝大部分都可以依据题意进行辅助函数的构造，通过题目给出的意思，进行移项或者作商等方法，得到辅助函数的单调性，从而得到问题的解题思路．
例2设，证明：
．
分析对于关于两个常数的不等式，一般将其中一个常数转换成变量，再构造单调函数，利用辅助函数单调性的性质进行证明．
证明等价于．
令
，
显然
．，
又由于
得
，
所以
，故．
2.2Lagrange函数
拉格朗日函数是力学系的特性函数，其明显的表现形式为，而在数学分析中其表现形式为一种多元函数，通过构造拉格朗日函数的方式，求其偏导函数得到驻点，从而找到极大（极小）值或者最大（最小）值[4]．
例3 求椭圆的内接长方体的最大体积．
解设椭圆内接长方体位于第一卦限的顶点坐标为，
则
设
令
由
，，
两式相除得
；
．
再将
，
代入
，，，
于是最大的体积为
不是任何函数都可以用来构造辅助函数，单调函数和拉格朗日函数都可以构造辅助函数来解决问题，当然还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构造成辅助函数，能够造成辅助函数的函数必须具有其相应的性质或功能，这样才能使得问题得到解决．
3辅助函数的构造方法
要想进一步探究辅助函数法在数学分析中的运用，笔者认为应该明晰对怎样构造辅助函数这一问题．如下将详略地介绍构造辅助函数的几种方法：
3.1几何法
数学分析中，存在有些概念或命题具有特殊的集合意义．例如函数在某点出的导数值为曲线对应点处切线的斜率，定积分的几何意义为曲边梯形的面积；
罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等．对于这些问题，依据其集合意义构造函数，接着利用已有的知识便迎刃而解．
3.1.1积分意义法
例5设函数在上连续，在内可导，且．证明：
存在唯一的使曲线与直线及所围成的面积是与直线及所围成的面积的三倍．
分析利用定积分知
因此，要证
可作辅助函数：
用介值定理证明的存在性，用导数证明的存在性，用导数证明的唯一性．
证明作，
在上连续，由介值定理知，存在使
又在内可导，且
知，
是的极小值点，
即在上单调减少，而在上单调递增，
故
且是唯一的．
3.1.2三点定抛物线法
一般地，过三点的二次抛物线的方程为：
对于含函数在二阶导数的问题，若知道函数在不同的三点处的值，便可利用“三点定抛物线”，另等于与抛物线纵坐标差值来解决．
例6设在上二阶可导，且，证明存
，使．
证明过三点可做抛物线
且
在上对用罗尔定理，存在使得
在上对用罗尔定理得，存在使得，即
3.2原函数法
在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时，与证明的结论往往是某个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数．具体步骤为[8]：
（1）将欲证结论中的（或者）换成；
（2）通过恒等变形，将结论化为易积分（或容易消除导数符号）的形式；
（3）用观察法或凑微分法等方法示出原函数，为简便起见，可将积分常数去为零；
（4）移项，使等式一边为零，则等式的另一边即为所需的辅助函数．
例7设在上连续，在内可导，，证明：
在内必存在一点，使．
证明将要证明结论中的换成，在变形为
则在上连续，在内可导，且
由罗尔定理知，存在，使得，即：
3.3微分方程法
所谓“微分方程法”，是指在遇到诸如“求证：
存在，使得
”之类的问题时，可先了解微分方程得其通解
，则辅助函数可构造为．
例8设函数在闭空间具有二阶导数，且，那么至少存在一点使得成立．
分析在要证明的结论
中用替换，得
把看作未知函数，这就是一个关于的一阶线性齐次微分方程，可以用变量分离法或者公式法求得其解，
将
作为辅助函数．
证明令
由于函数在闭区间具有二级导数，因此函数在闭区间上连续，在开区间内可导，又
，
故至少有一点使．于是在闭区间上连续，在开区间上可导，且，所以在闭区间上满足罗尔中值定理．因此，至少有一点，使得
即：
由于
．
3.4常数分离法
若欲要证明的命题中恒等变形，使等式一端，常数已分离，可考虑用以下步骤求辅助函数：
（1）将常数部分记作；
（2）做恒等变形，使等式一端为构成的代数式，另一端为构成的代数式；
（3）分析关于端点的表达是否为对称式，若是，只要把端点（）改为，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数．
例9设在区间上连续，在内可导，证明：
在内至少有一点，使得
证明令
显然，这是一个关于的对称式可以构造辅助函数为
则在在区间上连续，在内可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得，则有
．
以上通过介绍几何法、原函数法和微分方程法以及常数分离法这几种方法，结合实例讲解了构造辅助函数方法的使用，突出了构造辅助函数在数学分析中解题时的实用性和有效性，在解题时恰当地构造辅助函数可以方便地拓宽解题的思路，相对于直接去解，有极大的优势．当然在数学分析中构造辅助函数的方法还有很多，比如恒等变形法、不完全归纳法和逆向思维法，以及融合了各种方法的综合分析法等等，通过这些构造辅助函数的方法都可以使我们解题事半功倍．
4辅助函数法在数学分析中的运用
辅助函数法在数学分析中的运用是本文的重点，下面我们将从几个方面来阐述辅助函数法在众多数学分析问题中的运用.
4.1证明中值定理
在数学分析中，人们将拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理称之为微分中值定理．微分中值定理是数学分析的基石，在各种版本的教材里，对各个中值定理的证明都堪称经典．这里笔者运用辅助函数法重点对拉格朗日中值定理进行证明：
若函数满足如下条件：
（）在闭区间上连续；
（）在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得：
证明先做一个辅助函数：
，
易知，存在，使得
，
定理得证．
注该定理的证明方法还有很多种，请读
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