学年高中数学 151152曲边梯形的面积和汽车行驶的路程教案 理 新人教A版选修22docWord格式.docx

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1.求下图中阴影部分的面积：

2.对于哪些图形的面积，大家会求呢？

【交流点拨】

（一）问题引入：

对于，，，围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？

（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）

今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。

（二）学生活动

1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）

2、让学生说出自己的想法

希望学生说出以⊿OAB的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？

希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。

（在讨论的过程中渗透分割的思想）

问题：

如何计算每个曲边梯形的面积呢？

（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论

方案一方案二方案三

方案一：

用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：

用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

方案三：

以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）

总结：

这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。

如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：

⑴分割细化

将区间等分成个小区间，，…，，…，，每个区间的长度为（学生回答），过各个区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，。

⑵以直代曲

对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。

即

（当分割很细时，在上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法）

⑶作和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值：

=（复习符号的运用）

⑷逼近

当分割无限变细时，即无限趋近于（趋向于）

当趋向时，无限趋近于，无限趋近于，故上式的结果无限趋近于，，即所求曲边三角形面积是。

（在逼近的过程中，难点是求在此应给学生一些时间探求自然数的平方和，

最好在讲数列知识时补充进去。

新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线部分时，这个问题也有所体现）

3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。

【拓展建构】

例1.求由直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围成的平面图形的面积S

【解】

（1）分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：

分别过上述n-1个分点作垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形。

它们的面积记作

（2）近似代替

记f（x）=2x+1,当n很大时，第i个小曲边梯形的面积可以用小矩形（以为底，为高）的面积近似代替，则有：

（3）求和

（4）取极限

当n趋向于无穷大时，趋向于S,从而有：

S=

【梯度训练】

1.函数f（x）=x2在区间【（i-1）/n,i/n】上（）

A.f（x）的值变化很小B．f（x）的值变化很大

C．f（x）的值不变化D．当n很大时，f（x）的值变化很小

2.由y=x,x=0,x=1,y=0围成图形的面积为

3.求直线x=0,y=0与曲线所围成的曲边梯形的面积。

六、跟进反思：

1.5.2汽车行驶的路程

1．连续函数的概念；

2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；

利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？

三、交流点拨

问题引入：

汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：

km/h），那么它在0≤≤1（单位：

h）这段时间内行驶的路程（单位：

km）是多少？

分析：

与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：

km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：

km）的精确值．（思想：

用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．

1．分割

在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

，，…，

记第个区间为，其长度为

把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：

显然，

2.近似代替

当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有

①

3.求和

由①，

==

从而得到的近似值

4.取极限

当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有

思考：

结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．

一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．

四、拓展建构

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．

利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解：

将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．

在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

把在分段，，…，上所作的功分别记作：

有条件知：

=

所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：