广东省中山市普通高中学校高三数学月考试题032文档格式.docx
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现随机向区域内投掷一粒豆子,则豆子落在区域内的概率为()
A.B.C.D.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为
A.B.C.D.
8.在右侧程序框图中,输入,按程序运行后输出的结果是()
A.3B.4C.5D.6
9.若函数在上有最小值,则实数的取值范围是()
10.中,,为锐角,点O是外接圆的圆心,则的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二.填空题:
本大题共5小题,每小题4分,满分20分。
11.若为纯虚数(为虚数单位),则实数=.
12.已知则=.
13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图
是半圆。
现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到
A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________.
14.在含有3件次品的10件产品中,取出件产品,
记表示取出的次品数,算得如下一组期望值:
当n=1时,;
当n=2时,;
当n=3时,;
……
观察以上结果,可以推测:
若在含有件次品的件产品中,取出件产品,记表示取出的次品数,则=.
15.某同学在研究函数的性质时,受到两点间距离公式的启发,将变形为,则表示(如图),下列关于函数的描述正确的是.(填上所有正确结论的序号)
①的图象是中心对称图形;
②的图象是轴对称图形;
③函数的值域为;
④方程有两个解.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
已知函数()的周期为4。
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象,
、分别为函数图象的最高点和最低点(如图),求的大小。
17.(本小题满分13分)
如图,PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O
(Ⅰ)求证:
OP⊥平面QBD;
(Ⅱ)求二面角P-BQ-D平面角的余弦值;
(Ⅲ)过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E,求的值.
18.(本小题满分13分)
某城市2002年有人口200万,该年医疗费用投入10亿元。
此后该城市每年新增人口10万,医疗费用投入每年新增亿元。
已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)预计该城市从2013年起,每年人口增长率为10%。
为加大医疗改革力度,要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元,若医疗费用人均投入每年新增元,求的值。
(参考数据:
)
19.(本小题满分13分)
已知函数在处的切线与直线垂直,函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若函数存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)设是函数的两个极值点,若,求的最大值.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆.
(Ⅰ)我们知道圆具有性质:
若为圆O:
的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。
类比圆的这个性质,写出椭圆的类似性质,并加以证明;
(Ⅱ)如图
(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线,分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;
(Ⅲ)如图
(2),过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?
若存在,求出圆的方程;
若不存在,请说明理由.
图
(1)图
(2)
21.本题设有
(1)
(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
已知矩阵,.
(Ⅰ)求矩阵A的逆矩阵;
(Ⅱ)求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(为参数).
(Ⅰ)将C的方程化为普通方程;
(Ⅱ)以为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程是,
求曲线C与C交点的极坐标.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:
不等式选讲
已知正数,,满足.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)若不等式对满足条件的,,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
一.选择题;
10.分析1:
BC=2,,所以,如图建系,
,求得圆O:
,设,则
分析2:
…
分析3:
又,
所以=
11.12.13.(或)14.15.②③
15.分析:
如图设,当P,Q关于对称时,即
所以f(x)关于对称.
④设,则,观察出,则,由③知无解.
三.解答题:
16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力,考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力.满分13分.
解:
(1)
----1分
-----------------------3分
-----------------------5分
----------6分
(2)将的图像沿轴向右平移个单位得到函数--------------7分
因为、分别为该图像的最高点和最低点,
所以--------------------------------------------------------------------------9分
所以----------------------------------------------------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
所以---------------------------------------------------------------------------------------13分
法2:
法3:
利用数量积公式,
17.本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法,
考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分13分.
(Ⅰ)连接OQ,由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面
BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PACQ,∴BD⊥OP.------------------------------------------------------1分
由题中数据得PA=2,AO=OC=,OP=,QC=1,OQ=
∴△PAO∽△OCQ,∴∠POA=∠OQC,
又∵∠POA+∠OPA=90°
∴∠POA+∠COQ=90°
∴OP⊥OQ
(或计算PQ=3,由勾股定理得出∠POQ=90°
,OP⊥OQ)------------------3分
∵OP⊥BD,OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面QBD--------------------------4分
(Ⅱ)如图,以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系,
∴各点坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0)-------------------5分
∴=(-2,0,2),=(0,2,1),设平面PBQ的法向量
∴,得,
不妨设,∴--------------------------------------------------6分
由(Ⅰ)知平面BDQ的法向量,---------------------------------7分
,>
=,
∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.--------------------------------------9分
(Ⅲ)设,∴,
,--------------------------------------------------11分
∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。
---------------------------------------------------12分
∴.∴--------------------------------------------------13分
(方法二)在平面PAD中,分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M,
连结MC交直线DQ与点N,在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E,-------11分
由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N
∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分
∵CQ=1,MD=PA=2,∴
∵NE∥PQ,------------------------------------------------------------13分
18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列的基本知识,考查数学建模及其应用与计算的能力,考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)依题意,从2002年起,该城市的人口数组成一个等差数列,
到2012年,,该城市的人口数为万人,--------------------------------2分
故2012年医疗费用投入为元,即为30亿元,
由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列,--------------------------------------------------4分
所以,解得,----------------------5分
(Ⅱ)依题意,从2013年起(记2013年为第一年),
该城市的人口数组成一个等比数列,
其中,公比,-----------6分
医疗费用人均投入组成一个等差数列,
其中,公差为,;
------------------7分
于是,从2013年起,将来10医疗费用总投入为:
,----------------------------------------8分
,
相减得:
所以(万元),----------------12分
由题设,,解得。
---------------13分
19.本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、考查运算求解