高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题Word文档下载推荐.docx

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“存在，对任意的，使得成立”称为不等式的存在任意性问题.存在，对任意的，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即.（见下图3）

“存在，对任意的，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大，即.（见下图4）

【方法讲评】

题型一

双存在性问题

使用情景

不等式中的两个自变量属性都是存在性的.

解题理论

存在，存在，使得成立”称为不等式的双存在性问题，存在，存在，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小，即.

“存在，存在，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大，即.

【例1】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，设，若存在，，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，）

当时，，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，的减区间为，增区间.

当时，的减区间为.

当时，的减区间为，

增区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为，

，令，得.

时，，单调递减，

，，单调递增，

所以在上的最小值为，

由题意可知，解得,所以.

【点评】

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反.

【反馈检测1】设函数，

（1）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示）,并确定的单调区间；

（2）在

（1）的条件下，设，函数，若存在使得成立，求的取值范围.

题型二

双任意性问题

不等式的两个自变量属性都是任意的.

“任意，对任意的，使得成立”，即在区间

内任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即

.

【例2】已知函数．若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．

【解析】则对所有的，都成立，

令，，是关于的一次函数，

因为，所以

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.

【反馈检测2】已知函数，，，.

（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.

题型三

存在任意性

不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.

“存在，对任意的，使得成立”称为不等式的存在任意性问题.存在，对任意的，使得成立，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小，即.

“存在，对任意的，使得成立”，即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大，即.

【例3】

（2010高考山东理数第22题）已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.

（1）当时，，当,函数单调递减；

当，函数单调递增.

（2）当时，由，即，解得.

当时，恒成立，此时，函数单调递减；

当时，，时，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减.

当时，当,函数单调递减；

综上所述：

当时，函数在单调递减，单调递增；

当时，恒成立，此时，函数在单调递减；

当时，在单调递减，单调递增，单调递减.

（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有

又已知存在，使，所以，，（※）

又

当时，与（※）矛盾；

当时，也与（※）矛盾；

当时，.

综上所述，实数的取值范围是.

（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.

（2）对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同.

【反馈检测3】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知，函数.若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

高中数学热点难点突破技巧第07讲：

导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案

【反馈检测1答案】

（1）；

（2）.

令，得或∵是极值点，∴，即

当即时，由得或

由得

综上可知：

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）由

（1）知，当a>

0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数在区间上的最小值为

又∵，，

∴函数在区间[0，4]上的值域是，即

又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是

∵－＝＝，

∴存在使得成立只须仅须

－<

1

【反馈检测2答案】

（Ⅰ）当时，递减区间为，不存在增区间；

当时，递减区间为，递增区间；

（Ⅱ）.

∴递减区间为，递增区间；

综上：

当时，递减区间为，不存在增区间；

（Ⅱ）令，由已知得只需即

若对任意，恒成立，即

令，则

设，则

∴在递减，即

∴在递减∴即

的取值范围为．

【反馈检测3答案】

（I）详见解析；

（II）.

【反馈检测3详细解析】

当时，或，在上递增，在和上递减；

，在上递减.

（II）由

（2）知在内单调递减，内单调递增，内单调递减，

又，

故有，

只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可.

即时最小值，不合题意，舍去；

即时最小值；