NOIP基础算法贪心和分治.ppt

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NOIP基础算法分治与贪心,第五部分,分治策略,一、分治思想,分治法，又叫分治策略，顾名思义，分而治之。

它的基本思想：

对于难以直接解决的规模较大的问题，把它分解成若干个能直接解决的相互独立的子问题，递归求出各子问题的解，再合并子问题的解，得到原问题的解。

通过减少问题的规模，逐步求解，能够明显降低解决问题的复杂度。

二、分治法的适用条件,能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征：

该问题可分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题；子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解；子问题的解合并后，能得到原问题的解；分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、无法直接下手的问题。

三、分治的三步骤,分解：

将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题；解决：

当子问题划分得足够小时，求解出子问题的解。

合并：

将子问题的解逐层合并成原问题的解。

分治算法设计过程图,在划分问题时，可以采用递归策略，把一个大问题逐步分解成规模较小的子问题，直至可以直接求出子问题的解；再将子问题逐层合并，返回到顶层，得到原问题的解。

根据分治策略的划分原则，把原问题划分成多少个子问题才合适呢？

各个子问题的规模应该多大才合适呢？

一般来说，每次划分成2个子问题，每个子问题的规模差不多最合适。

合并解时要因题而异，有些问题递归分解完能直接得到原问题的解，有些问题需逐层合并，得到原问题的解。

四、分治的框架结构,procedureDivide（）beginif（问题不可分）then/解决begin直接求解；返回问题的解；endelsebegin对原问题进行分治；/分解递归对每一个分治的部分进行求解;/解决归并整个问题，得出全问题的解;/合并endend;,五、分治的典型应用,1、求最大值和最小值2、求方程的根3、二分查找4、归并排序5、快速幂6、求解线性递推关系7、棋盘覆盖问题8、循环日程表问题9、寻找最近点对,1、求最大值和最小值,例题1：

给n个数，求它们之中最大值和最小值，要求比较次数尽量小。

分析：

假设数据个数为n,存放在数组a1.n中。

可以直接进行比较：

minn:

=a1;maxx:

=a1;fori:

=2tondoifaimaxxthenmaxx:

=ai;elseifaiminnthenminn:

=ai;使用这一算法，比较次数为2（n-1）。

若n=10,则比较18次。

【方法2】分治策略划分：

把n个数均分为两半。

即：

划分点为d=（r1+r2）/2，两个区间为r1,d和d+1,r2。

递归求解：

求左半的最小值min1和最大值max1以及右半最小值min2和最大值max2。

合并：

max1与max2比较得到所有数的最大值为maxx；min1与min2比较得到所有数的最小值为minn。

procedurepd（r1,r2:

integer;varmaxx,minn:

integer）beginvarmax1,min1,max2,min2,d:

integer;ifr1=r2thenbeginmaxx:

=xr1;minn:

=xr1;endelseifr2=r1+1thenbeginifxr2xr1thenbeginmaxx:

=xr2;minn:

=xr1;endelsebeginmaxx:

=xr1;minn:

=xr2;endendelsebegind:

=（r1+r2）/2;pd（r1,d,max1,min1）;pd（d+1,r2,max2,min2）;ifmax1max2thenmaxx:

=max1;elsemaxx:

=max2;ifmin1min2thenminn:

=min1;elseminn:

=min2;endend,2、求方程的根,例题2：

一元三次方程求解（NOIP2001）【题目描述】有形如：

ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。

给出该方程中各项的系数（a,b,c,d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至100之间），且根与根之差的绝对值=1。

要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后4位。

【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d【文件输出】输出也只有一行，即三个根（从小到大输出）【样例输入】1-5-420【样例输入】-2.002.005.00,分析,如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：

将x从-100.00到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个f（x），取其值与0最接近的三个f（x），对应的x即为答案。

而题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将达不到要求。

直接使用求根公式，极为复杂。

加上本题的提示给我们以启迪：

采用二分法逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精度的数值。

分析,A.当已知区间（a,b）内有一个根时；用二分法求根，若区间（a,b）内有根，则必有f（a）*f（b）b或f（a+b）/2）=0，则可确定根为（a+b）/2并退出过程；、若f（a）*f（a+b）/2）0,则必然有f（a+b）/2）*f（b）0,根在（a+b）/2,b）中,对此区间重复该过程。

执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。

分析,B、求方程的所有三个实根所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝对值=1。

因此可知：

在-100,-99、-99,-98、99，100、100，100这201个区间内，每个区间内至多只能有一个根。

即：

除区间100，100外，其余区间a,a+1，只有当f（a）=0或f（a）*f（a+1）0时，方程在此区间内才有解。

若f（a）=0，解即为a；若f（a）*f（a+1）0，则可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。

如此可求出方程的所有的解。

核心参考代码,procedureDivide（x1,x2:

double）Beginvarx0,y0,y1,y2:

double;x0:

=（x1+x2）div2;y1:

=cal（x1）;y2:

=cal（x2）;y0:

=cal（x0）;if（x2-x11）thendivide（x1,x0）;if（y0*y21）thendivide（x0,x2）;End;,3、归并排序,归并排序的基本思想：

归并排序充分应用分治算法的策略，通过二分的思想，将n个数最终分成n个单独的有序数列，每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一个有序数列；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序数列。

按照分治三步法来说：

（1）划分：

把序列分成元素个数相等的两半；

（2）递归求解：

把两半分别排序；（3）合并：

把两个有序表合成一个有序表；,分析,显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有序表合成一个。

每次只需要把两个有序表中当前的最小元素加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表中。

核心参考代码,procedureMergeSort（left,right:

integer）/归并排序beginifleft=rightthenexit;/只有一个元素mid:

=（left+right）div2;/找中间位MergeSort（left,mid）;/对左边归并MergeSort（mid+1,right）;/对右边归并i:

=left;j:

=mid+1,p:

=left;/合并左右while（iaj）thenbegintempp:

=aj;inc（p）;inc（j）;endelsebegintempp:

=ai;inc（p）;inc（i）;endwhile（i=mid）dobegintempp:

=ai;inc（p）;inc（i）;endwhile（j=right）dobegintempp:

=aj;inc（p）;inc（i）;endfori:

=lefttorightdoai:

=tempi;End;,【变形1】求逆序对数目,例题3：

求“逆序对”给定一整数数组A=（A1,A2,An）,若iAj,则就为一个逆序对。

例如数组（3，1，4，5，2）的逆序对有,。

问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。

数据范围：

1=n=30000。

方法1：

朴素算法,在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算法穷举算法，即对数组中任意的两个元素进行判断，看它们是不是构成“逆序对”，因此这种算法的时间复杂度为O（N2）。

c:

=0;fori:

=1ton-1doforj:

=i+1tondoifaiajthenc:

=c+1;时间效率不尽如人意.问题出现在哪里呢？

求逆序对的方法：

求逆序对有多种方法，目前使用比较广泛且实现比较简单的主要有三种算法：

1、归并排序2、线段树3、树状数组,方法2：

分治策略,采用二分法求解:

记数列ast,ed的逆序对数目为d（st,ed）;mid=（st+ed）/2,则有：

d（st,ed）=d（st,mid）+d（mid+1,ed）+F（st,mid,ed）其中F（st,mid,ed）表示一个数取自ast,mid,另一个数取自amid+1,ed所构成的逆序对数目。

和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：

如何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？

统计的常见技巧是“分类”。

我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行分类：

只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f（j），则所有f（j）之和便是答案。

幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f（j）的计算：

由于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的aj复制到T中时，左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比aj大的数。

此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。

即把“if（aiaj）thenbegintempp:

=aj;inc（p）;inc（j）;end改为“if（aiaj）thenbegintot:

=tot+mid-i+1;tempp:

=aj;inc（p）;inc（j）;end,4、二分查找,【问题】给出从小到大排列的n个不同数a1an，试判断元素x是否出现在表中。

方法1：

顺序查找。

即一个一个进行寻找，时间复杂度为O（n）。

这个方法并没有用到“n个数从小到大排列”这一个关键条件，因而时间效率低下。

方法2：

二分查找,只需要比较log2n个元素。

假设需要在aLar中查找元素x。

划分：

检查某个元素am（Lx，那么元素只可能在aLam-1中如果amx，那么元素只可能在am+1ar中。

合并：

不需要合并。

实现方法1：

二分查找的递归实现,functionbsh（L,r,x:

integer）:

integer;Beginvarm:

integer;ifLrexit（-1）;m:

=（L+r）div2;ifam=xbsh:

=m;elseifamxthenbsh:

=bsh（L,m-1,x）;elsebsh:

=bsh（m+1,r,x）;End;,实现方法2：

二分查找的非递归实现,functionbsh（L,r,x:

integer）:

integer;Beginvarm:

integer;while（Lxthenr:

=m-1elseL:

=m+1;endbsh:

=-1;/查找不成功End;,【扩展1】二分查找求下界，即第一次出现的位置functionErfen（L,r,x:

integer）:

integer;beginvarmid:

integer;while（Lr）dobeginmid:

=（L+r）div2;ifx=amidthenr:

=midelseL:

=mid+1;end;Erfen:

=L;end;【扩展2】二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置,【变形1】：

奇怪的函数,【问题描述】使得xx达到或超过n位数字的最小正整数x是多少？

【文件输入】输入一个正整数n。

【文件输出】输出使得xx达到n位数字的最小正整数