学年高中数学 第一章 空间几何体 133 空间几何体的表面积与体积教案 新人教A版必修2docWord格式文档下载.docx
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直截面周长×
l
S侧+2S底
S底·
h=S直截面·
h
直棱柱
ch
锥
棱锥
各侧面面积之和
S侧+S底
正棱锥
ch′
台
棱台
S侧+S上底+S下底
h（S上底+S下底+）
正棱台
（c+c′）h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2.旋转体的面积和体积公式
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π（r1+r2）l
S全
2πr（l+r）
πr（l+r）
π（r1+r2）l+π（r21+r22）
4πR2
V
πr2h（即πr2l）
πr2h
πh（r21+r1r2+r22）
πR3
表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。
知识点一：
柱、锥、台体的表面积
例1：
三棱锥中，为等边三角形，侧面积是底面积的2倍。
，且该三棱锥的高，为的中心，且垂直于内任意直线，求其表面积。
思路分析：
构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形，利用方程思想求解
解答过程：
设该三棱锥底面边长为，侧面的高为，如图，过作，，。
，。
。
，。
即。
，，
解题后的思考：
构造直角三角形，利用勾股定理来建立方程，求得未知量的方程思想在计算中经常用到。
知识点二：
柱、锥、台体的体积
例2：
已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体积。
利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。
如图所示，、是上、下底面的中心，连结、、，在平面内作于。
是边长为2的等边三角形，是中心，
，
同理，则。
在中，，，
，即棱台高为cm。
所以三棱台的体积为（cm3）。
将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。
例3：
在边长为的正方体中，，，分别是棱，，上的点，且满足，，，试求三棱锥的体积。
若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易的求出其高和底面的面积，从而代入公式求解。
转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据。
例4：
如图，在三棱柱中，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比。
截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；
另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得。
设棱柱的底面积为，高为，其体积。
则三角形的面积为。
由于，
则剩余不规则几何体的体积为
所以两部分的体积之比为。
在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算。
知识点三：
几何体的侧面展开图
例5：
如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0。
求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长。
求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图，将几何体展开，把空间问题平面化，然后利用“两点之间线段最短”的性质求解。
将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示。
甲、乙、丙三个图形中AC1的长分别为：
=，
∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0。
故最短线路的长为。
要注意长方体展开图的几种不同的情况，不要遗漏。
知识点四：
根据三视图求几何体的表面积或体积
例6：
已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S
根据三视图所提供的信息，先确定该几何体的立体图形，再根据所给数据求解。
如图所示，由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形。
（1）该几何体的体积为：
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：
左、右侧面的底边上的高为：
。
故该几何体的侧面积为：
在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。
知识点五：
球的表面积和体积的计算
例7：
一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积和体积。
求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。
（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面。
由球的截面性质，知，且、分别为两截面圆的圆心，则，。
设球的半径为。
同理，，。
设，则。
在中，，
，解得。
（cm2），（cm3），
球的表面积为2500cm2，体积为cm3。
（2）当截面位于球心的两侧时，如图所示为球的轴截面。
设球的半径为。
在中，。
，解得，不合题意，舍去。
综上所述，球的表面积为2500cm2，体积为cm3。
解题时要注意，球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。
知识点六：
组合体的问题
例8：
求半径为的球内接正方体的表面积。
正方体内接球时，球与正方体关系如图
（1），过不相邻的两条棱的平面截球，所得截面如图
（2），只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。
如图
（1）所示，设正方体棱长为，为正方体的对角线，那么，，
即正方体的表面积为。
组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，一直是高考中的热点，所以同学们在平时的解题中应注意观察，有关球的组合体中各图形的位置关系。
一、预习新知
思考：
观察长方体（如图），你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
请同学们预习必修2第二章第1节空间点、直线、平面之间的位置关系
二、预习点拨
通过预习，请回答下列问题：
1.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系？
2.公理1~4的内容是什么？
（答题时间：
60分钟）
一、选择题：
1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A.π B.3π C.3π D.9π
2.若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（）
A.B.C.D.
3.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是（ ）
A. B. C.14 D.7
4.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：
cm2）为（）
A.B.C.D.
二、填空题：
5.一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，这个长方体对角线的长是__________
6.如下图是一个几何体的三视图（单位：
m），则该几何体的体积为________。
7.如图是一个几何体的三视图。
若它的体积是3，则a＝________。
8.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
三、解答题：
9.如图所示，长方体ABCD—中，用截面截下一个棱锥C—，求棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比。
10.一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？
1.D
2.A解析：
如图所示，正方体的、、、的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为，则正四面体边长为。
正方体表面积，
正四面体表面积为，
3.A解析：
这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝×
（12＋＋22）×
2＝。
4.A解析：
如图所示三棱锥。
，点为的中点，，
，，。
取中点，连接、，可得，
5.
6.12m3
解析：
如图所示，此几何体是一个以AA1，A1D1，A1B1为棱的长方体被平面BB1C1C截去后得到的，易得其体积为长方体体积的，因为长方体的体积为2×
4×
2＝16（m3），故所求几何体的体积为12m3。
7.解析：
由三视图可知该几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，∴V＝3×
＝3，a＝。
8.24
9.解：
已知长方体可看成直四棱柱—。
设它的底面的面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh。
而棱锥C—的底面面积为S，高是h,
因此，棱锥C—的体积VC—A′DD′=×
Sh=Sh。
剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh。
所以棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比为1∶5。
10.解：
设球的半径为，则圆锥的高，底面半径，
剩下的水量是原来的：
容器内剩下的水是原来的。
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