培优导学计划高中数学 必修3 苏教版 第三章 概率 31文档格式.docx

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（1）概率的定义：

一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．

（2）概率的性质：

①随机事件的概率范围为0≤P（A）≤1；

②必然事件和不可能事件分别用Ω和Ø

表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（Ø

）＝0.

1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.（　√　）

2．小概率事件就是不可能发生的事件．（　×

　）

3．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．（　×

4．频率的大小会随着试验次数的变化而变化，而概率则是常数．（　√　）

类型一　事件的分类与判断

例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

（1）从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；

（2）一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；

（3）函数y＝logax（a＞0且a≠1）在其定义域内是增函数；

（4）平行于同一直线的两条直线平行；

（5）某同学竞选学生会主席成功．

解　

（2）为不可能事件，（4）为必然事件，

（1）（3）（5）为随机事件．

反思与感悟　事件的分类

事件类型

定义

举例

必然事件

在一定条件下，必然会发生的事件

在山顶上，抛一块石头，石头下落

不可能事件

在一定条件下，肯定不会发生的事件

在常温常压下，铁熔化

随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件

掷一枚硬币，出现正面向上

跟踪训练1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

（1）中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；

（2）出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；

（3）若x∈R，则x2＋1≥1；

（4）小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．

解　

（1）

（2）中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．

（3）中的事件一定会发生，所以是必然事件．

（4）小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．

类型二　列举试验结果

例2　某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对（x，y）．

（1）写出这个试验的所有结果；

（2）写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．

解　

（1）当x＝1时，y＝2,3,4；

当x＝2时，y＝1,3,4；

当x＝3时，y＝1,2,4；

当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）．

（2）记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，

则A＝{（2,1），（2,3），（2,4）}．

反思与感悟　在写试验结果时，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．

跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．

（1）从中任取1球；

（2）从中任取2球．

解　

（1）条件为：

从袋中任取1球，结果为：

红、白、黄、黑4种．

（2）条件为：

从袋中任取2球．若记（红，白）表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：

（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）6种．

类型三　利用频率估计概率

例3　下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率．

试验序号

抛掷的次数n

正面朝上的次数m

“正面朝上”出现的频率

1

500

251

2

249

3

256

4

253

5

6

245

7

244

8

258

9

262

10

247

解　由fn（A）＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.

引申探究　

1．在本例条件不变的情况下，抛掷硬币30次，则“正面朝上”的次数大约有多少次？

解　∵“正面朝上”的概率为，

∴30×

＝15，即“正面朝上”的次数约为15.

2．在本例条件不变的情况下，连续抛掷硬币两次，有没有可能连续两次“正面朝上”？

有多大可能？

解　有可能连续两次“正面朝上”；

连续两次“正面朝上”的可能性为×

＝.

反思与感悟　

（1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．

（2）解此类题目的步骤：

先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．

跟踪训练3　某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：

顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据．

转动转盘的次数n

100

150

200

800

1000

落在“铅笔”区域的次数m

68

111

136

345

564

701

落在“铅笔”区域的频率

（1）计算并完成表格；

（2）请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？

（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

解　

（1）

0.68

0.74

0.69

0.705

0.701

（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.

（3）获得铅笔的概率约是0.7.

1．下面给出了三个事件：

①明天天晴；

②在常温常压下，水沸腾；

③自由下落的物体做匀速直线运动．

其中随机事件为________．

答案　①

解析　由事件的定义可判断①是随机事件，②③是不可能事件．

2．下面五个事件：

①某地明年2月3日将下雪；

②函数y＝ax（a>

0且a≠1）在定义域上是增函数；

③实数的绝对值不小于0；

④在标准大气压下，水在1℃结冰；

⑤a，b∈R，则ab＝ba.

其中必然事件是________．

答案　③⑤

3．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是________．

①3人都是男生；

②至少有1名男生；

③3人都是女生；

④至少有1名女生．

答案　②

解析　由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．

4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设反面向上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．

答案　52　0.52

解析　100次试验中，48次正面向上，则52次反面向上．又频率＝＝＝0.52.

5．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：

抽取台数

50

300

优等品数

40

92

192

285

478

954

（1）计算表中优等品的各个频率；

（2）该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？

解　

（1）抽样50台中优等品40台，

优等品的频率为＝0.8，

同理可求得其他的频率依次为：

0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.

（2）频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.

1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生（必然事件），还是不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能事件）．

2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．

3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．

一、填空题

1．下列事件中，随机事件的个数为________．

①在标准大气压下，水在0℃结冰；

②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；

③明年长江武汉段的最高水位是29.8m.

答案　1

解析　①是必然事件；

②中，方程x2＋2x＋5＝0，Δ＝4－20＝－16<

0，可知它不可能有两个不相等的实根，是不可能事件，仅③是随机事件．

2．下列事件中，随机事件的个数是________．

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；

②若a为整数，则a＋1为整数；

③发射一颗炮弹，命中目标；

④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．

答案　3

解析　当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件．

3．下列说法中正确的是________．

①任一事件的概率总在（0,1）内；

②不可能事件的概率不一定为0；

③必然事件的概率一定为1.

答案　③

解析　任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率一定为0，必然事件的概率一定为1.

4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．

答案　500

解析　设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．

5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8000件产品中合格品的件数约为________．

答案　7840

解析　合格品的件数约为8000－8000×

2%＝7840.

6．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________．

答案　掷出的点数为偶数

7．某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是________．

答案　

解析　每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个病人被治愈的概率仍为.