届九年级数学下册第27章图形的相似272相似三角形相似三角形的综合同步测试新版新人教版.docx

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届九年级数学下册第27章图形的相似272相似三角形相似三角形的综合同步测试新版新人教版

相似三角形的综合

课后作业

1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）A．AC2=AD•ABB．CD2=CA•CBC．CD2=AD•DBD．BC2=BD•BA

2、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4米，CA=2米，则树的高度为（　　）

A．6米B．4.5米C．4米D．3米

3、如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）

A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张

4、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边EG保持水平，并且边EF所在的直线经过点A．已知纸板的两条直角边EF=60cm，FG=30cm，测得小刚与树的水平距离BD=8m，边EG离地面的高度DE=1.6m，则树的高度AB等于（　　）

A．5mB．5.5mC．5.6mD．5.8m

5、如图所示，数学小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得小桥拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为（　　）

A．B．5C．3D．6

6、如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：

①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）

A．1个B．2 个C．3 个D．4个

7、矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面积是

8、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：

“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：

出南门几何步而见木？

”

译文：

“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？

”（注：

1里=300步）你的计算结果是：

出南门步而见木．

9、在平面直角坐标系中，点A（-5，0），以OA为直径在第二象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，作点A关于点B的对称点D，过点D作x轴垂线，分别交直线OB、x轴于点E、F，点F为垂足，当DF=4时，线段EF=．

10、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，BD=3．

（1）求∠A的度数；

（2）求BC的长及△ABC的面积．

11、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．

（1）求证：

∠FBC=∠FCB；

（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．

12、课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？

（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？

请你计算．

（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

参考答案

1、解析：

直接根据射影定理对各选项进行判断．

解：

∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，

∴AC2=AD•AB，CD2=DA•DB，BC2=BD•BA．

故选B

2、解析：

如图，CE=1.5m，易证得△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例性质求出BD即可．

解：

如图，

CE=1.5m，

∵CE∥BD，

∴△ACE∽△ABD，

∴AC:

AB=CE:

BD，即2:

（2+4）=1.5:

BD，

∴BD=4.5（m），

即树的高度为4.5m．

故选B．

3、解析：

根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．

解：

已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，

所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，

则3:

18=x:

18，解得x=3，

所以另一段长为18-3=15，

因为15÷3=5，所以是第5张．

故选：

B．

4、解析：

先求出EC=BD，再求出△EFG和△ECA相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到AC，再根据AB=AC+BC求解即可．

解：

∵小刚与树的水平距离BD=8m，

∴EC=BD=8m，

∵∠E=∠E，∠EFG=∠ECA=90°，

∴△EFG∽△ECA，

∴EF:

FG=EC:

CA，

即60:

30=8:

CA，

解得AC=4，

又∵DE=1.6m，

∴BC=DE=1.6m，

∴AB=AC+BC=4+1.6=5.6m．

故选C

5、解析：

小桥所在圆的圆心为点O，连结OG，设⊙O的半径为r米．先利用平行投影的性质和相似的性质得到DE:

EF=1.6:

2.4，于是可求出GH=8米，再根据垂径定理得到点O在直线MN上，GM=HM=GH=4米，然后根据勾股定理得到r2=（r-2）2+16，再解方程即可．

解：

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r米．

∵DE:

EF=1.6:

2.4，

∴8:

EF=1.6:

2.4

解得EF=12，

∴GH=12-3-1=8（米）．

∵MN为弧GH的中点到弦GH的距离，

∴点O在直线MN上，GM=HM=GH=4米．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

OG2=OM2+GM2，

即r2=（r-2）2+16，

解得：

r=5．

答：

小桥所在圆的半径为5米．

6、解析：

由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；

证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；

证明△ABD～△BCE，得出BC:

AB=BE:

AD，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；

由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．

解：

∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD=AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵点F是AB的中点，

∴FE=AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中，∠AEH＝∠CEB,AE＝BE,∠EAH＝∠CBE，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD～△BCE，

∴BC:

AB=BE:

AD，即BC•AD=AB•BE，

∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，

∴BC•AD=AE2；③正确；

∵F是AB的中点，BD=CD，∴

S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；

故选：

D

7、解析：

根据已知条件，先求出线段AE，BE，DE的长度，进而求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等即可得出答案．

解：

如图，过点C作CF⊥BD于F．

∵矩形ABCD中，AB=4，AE⊥BD，∠BAE=30°，

∴AB2=BE×BD，BE=2，AE=2，

∴ED=BD-BE=6，

∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°．

∴△ABE≌△CDF．

∴AE=CF．

∴S△AED=ED•AE，S△ECD=ED•CF

∴S△AED=S△CDE，

∵AE=2，DE=6，

∴△ECD的面积是6．

故答案为：

6

8、解析：

根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解：

由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，

△ACB∽△DEC，

∴DE:

AC=DC:

AB，即DE:

4.5=3.5:

15，

解得，DE=1.05里=315步，

∴走出南门315步恰好能望见这棵树，

故答案为：

315．

9、解析：

连接OD，则OD=OA=5，在直角三角形ODF中，可求出OF=3，故AF=2，在直角三角形ADF中由勾股定理求出AD，由相似三角形的判定定理找出△DBE∽△DFA，结合三角形相似的性质找出DE:

DA=DB:

DF，在等腰三角形AOD中可得出AB=DB=AD，套用DE=DB×DA:

DF得出DE值，再由EF=DF-DE得出结论．

解：

连接OD，如图所示．

∵点A、点D关于B点对称，

∴OD=OA=5．

在Rt△ODF中，OD=5，DF=4，∠DFO=90°，

∴OF==3，

∴AF=OA-OF=2．

∵AO为⊙C的直径，

∴∠ABO=90°，

∴∠DBE=90°=∠DFA，

又∵∠BDE=∠FDA，

∴△BDE∽△FDA，

∴DE:

DA=DB:

DF

．

在Rt△ADF中，AF=2，DF=4，∠AFD=90°，

∴AD==2．

∵OA=OD，且OB⊥AD，

∴AB=DB=AD=，∴DE=DB×DA:

DF=，

∴EF=DF-DE=．故答案为：

10、解析：

（1）先利用射影定理得到AC2=AD•AB，即（6）2=AD•（AD+3），再解方程得到AD=9，然后根据正弦的定义求∠A；

（2）先根据含30度的直角三角形三边的关系求BC，然后根据三角形面积公式求△ABC的面积．

解：

（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，

∴AC2=AD•AB，即（6）2=AD•（AD+3），

整理得AD2+3AD-108=0，解得AD=9或AD=-12（舍去），

在Rt△ACD中，∵AD:

AC=9:

6=:

2，

∴∠A=30°；

（2）∵AB=AD+BD=9+3=12，

而∠A=30°，

∴BC=AB=6，

∴S△ABC=•AC•BC=•6•6=18

11、解析：

（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出结论；

（2）由

（1）得：

∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可．

（1）证明：

∵四边形AFBC内接于圆，

∴∠FBC+∠FAC=180°，