第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及解答Word下载.docx
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−4）2+（y¯
−3）2+（z¯
−3）2
−5）2+（y¯
+1）2+（z¯
−6）2
−
√
2
7）+（y¯
7）2+z¯
2.
....................................................................（8分）
即
3x¯
+y¯
−4z¯
=−10,
4x¯
−3y¯
−z¯
=4,
−
（√71）x¯
+（√7−2）y¯
−7z¯
=−20.
...................................................................（10分）
解得（x¯
）=（1,−1,3）.而.......................................（14分）
于是所求球面方程为
−7）2=25.
（x−1）2+（y+1）2+（z−3）2=25.
...................................................................（15分）
二、（本题10分）设f1,f2,...,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证:
存在ξ∈[0,1],
使得
nn∫1
∏fk（ξ）≤∏
fk（x）dx.
证明:
记
k=1
∫1
k=10
ak=
fk（x）dx,∀k=1,2,...,n.
当某个ak=0时,结论是平凡的....................................（1分）
下设ak>
0（∀k=1,2,...,n）.我们有
‚
n
.
∏
.n
0k=1
fk（x）
ak
dx≤
∫11
0n
∑
dx=1.
由此立即可得存在ξ∈[0,1]使得
‚
.n
.n∏
fk（ξ）≤1.ak
结论得证...........................................................（10分）
✷
三、（本题15分）设Fn是数域F上的n维列空间,σ:
Fn→Fn是一个线
性变换.若∀A∈Mn（F）,σ（Aα）=Aσ（α）,（∀α∈V）,证明:
σ=λ·
idFn,其中λ
是F中某个数,idFn表示恒同变换.
设σ在Fn的标准基ε1,·
·
εn下的矩阵为B,则σ（α）=Bα（∀α∈Fn）................................................................（5分）由条件:
∀A∈Mn（F）,σ（Aα）=Aσ（α）,∀α∈Fn,有BAα=ABα,∀α∈Fn.
故AB=BA,（∀A∈Mn（F））.....................................（10分）
设B=（bij）,取A=diag（1,·
1,c,1,·
1）,其中c̸=0,1,由AB=BA可得bij=0,∀i̸=j.又取A=In−Eii−Ejj+Eij+Eji,这里Est是（st）−位置为1其它位置为0的矩阵.则由AB=BA可得aii=ajj,（∀i,j）.取λ=a11.故B=λIn,从而σ=λ·
idFn........................................（15分）
四、（本题10分）对于∆ABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.
三角形三个角A,B,C的取值范围为
（A,B,C）∈D≡{（α,β,γ）|α+β+γ=π,α>
0,β>
0,γ>
0}.
我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包
E={（α,β,γ）|α+β+γ=π,α≥0,β≥0,γ≥0}
上的最大值........................................................（1分）
我们有
max
（A,B,C）∈E
（3sinA+4sinB+18sinC）
=max（3sinA+4sin（A+C）+18sinC）
A+C≤π
A,C≥0
=max
0≤C≤π
0≤A≤π−C
（（3+4cosC）sinA++4sinCcosA+18sinC）
（√（3+4cosC）2+16sin2C+18sinC）
=max（√25+24cosC+18sinC）.
.....................................................................（4分）
考虑
f（C）=√25+24cosC+18sinC,0≤C≤π.
易见
πf（C）≥f（π−C）,∀C∈[0,2].
....................................................................（5分）
直接计算得
12sinC
−
f′（C）=18cosC√.
25+24cosC
....................................................................（6分）
计算得f′（C）=0等价于
（8cosC−1）（27cos2C+32cosC+4）=0.
从而它在[0,π]的解为C=arccos1...............................（7分）
于是
f（C）=max
0≤C≤π
8
f（C）=max
{
f（arccos
1π}
）,f（0）,f（）
82
=max
{35√7
4
}
7,23=
35√7
由此可得
（3sinA+4sinB+18sinC）=
另一方面,不难看到3sinA+4sinB+18sinC在E的边界上（A,B,C之一为零）
的最大值为22.....................................................（9分）
所以所求最大值为35
7
....................................（10分）
五、（本题15分）对于任何实数α,求证存在取值于{−1,1}的数列{an}n
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