二阶常微分方程解课件Word文档格式.docx

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或erx（r2＋pr＋q）＝0

因为erx≠0，故得

r2＋pr＋q＝0

由此可见，若r是二次方程

r2＋pr＋q＝0（7.2）

的根，那么erx就是方程（7.1）的特解，于是方程（7.1）的求解问题，就转化为求代数方程（7.2）的根问题。

称（7.2）式为微分方程（7.1）的特征方程。

特征方程（7.2）是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。

特征方程的两个根r１，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。

（1）若特证方程（7.2）有两个不相等的实根r１，r2，此时er１x，er2x是方程（7.1）的两个特解。

因为＝e≠常数

所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程（7.1）的通解为

y＝C1er1x＋C2er2x

（2）若特征方程（7.2）有两个相等的实根r1＝r2，此时p2－4q＝0，即

有r1＝r2＝，这样只能得到方程（7.1）的一个特解y１＝er１x，因此，我们还要设法找出另一个满足≠常数，的特解y2，故应是x的某个函数，设＝u，其中u＝u（x）为待定函数，即

y2＝uy1＝uer１x

对y2求一阶，二阶导数得

＝er1x＋r１uer1x＝（＋r1u）er1x

＝（r2１u＋2r1＋）er1x

将它们代入方程（7.1）得

（r21u＋２r1＋）er1x＋p（＋r1u）er1x＋quer1x＝0

或

［＋（2r1＋p）＋（r２１＋pr1＋q）u］er1x＝0

因为er1x≠0，且因r1是特征方程的根，故有r２１＋pr１＋q＝0，又因r1＝－故有2r1＋p＝0，于是上式成为

＝0

显然满足＝0的函数很多，我们取其中最简单的一个

u（x）＝x

则y2＝xerx是方程（7.1）的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程（7.1）的通解是

y＝C1er1x＋C2xer1x＝（C1＋C2x）er1x

（3）若特征方程（7.2）有一对共轭复根r1＝α＋iβ，r2＝α－iβ

此时方程（7.1）有两个特解

y1＝e（α＋iβ）xy2＝e（α－iβ）x

则通解为

y＝C1e（α＋iβ）x＋C2e（α－iβ）x

其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。

在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式

eix＝cosx＋isinx，e－ix＝cosx－isinx

有（eix＋e－ix）＝cosx

（eix－e－ix）＝sinx

（y1＋y２）＝eαx（eiβx＋e－iβx）＝eαxcosβx

（y1－y2）＝eαx（eiβx－e－iβx）＝eαxsinβx

由上节定理一知，（y1＋y2），（y1－y2）是方程（7.1）的两个特解，也即eαxcosβx，eαxsinβx是方程（7.1）的两个特解：

且它们线性无关，由上节定理二知，方程（7.1）的通解为

y＝C1eαxcosβx＋C2eαxsinβx

或y＝eαx（C1cosβx＋C2sinβx）

其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中α，β分别是特征方程（7.2）复数根的实部和虚部。

综上所述，求二阶常系数线性齐次方程（7.1）的通解，只须先求出其特征方程（7.2）的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下

特征方程r2＋pr＋q＝0的根

微分方程＋p＋qy＝0的通解

有二个不相等的实根r1，r2

y＝C1er1x＋C2er2x

有二重根r1＝r2

y＝（C1＋C2x）er1x

有一对共轭复根

y＝eαx（C1cosβx＋C2sinβx）

例1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解

（1）＋3－１０y＝0

（2）－4＋4y＝0

（3）＋4＋7y＝0

解

（1）特征方程r2＋3r－10＝0有两个不相等的实根

r1＝－5，r2＝2

所求方程的通解y＝C1e－5r＋C2e2x

（2）特征方程r2－4r＋4＝0，有两重根

r1＝r2＝2

所求方程的通解y＝（C1＋C2x）e2x

（3）特征方程r2＋4r＋7＝0有一对共轭复根

r1＝－2＋ir2＝－2－i

所求方程的通解y＝e－2x（C1cosx＋C2sinx）

7.2二阶常系数线性非齐次方程的解法

由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程

＋p＋qy＝f（x）（7.3）

的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程（7.3）的一个特解。

方程（7.3）的特解形式，与方程右边的f（x）有关，这里只就f（x）的两种常见的形式进行讨论。

一、f（x）＝pn（x）eαx，其中pn（x）是n次多项式，我们先讨论当α＝0时，即当

f（x）＝pn（x）时方程

＋p＋qy＝pn（x）（7.4）

的一个特解。

（1）如果q≠0，我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解＝Qn（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an，其中a0，a1，…an是待定常数，将及其导数代入方程（7.4），得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，…an。

例1.求＋＋2y＝x2－3的一个特解。

解自由项f（x）＝x2－3是一个二次多项式，又q＝2≠0，则可设方程的特解为

＝a0x2＋a1x＋a2

求导数＝2a0x＋a1

＝2a0

代入方程有2a0x2＋（2a0＋2a1）x＋（2a0＋a1＋2a２）＝x2－3比较同次幂系数

解得

所以特解＝x2－x－

（2）如果q＝0，而p≠0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时＝Qn（x）不能满足方程，但它可以被一个（n＋1）次多项式所满足，此时我们可设

＝xQn（x）＝a0xn＋1＋a1xn＋…＋anx

代入方程（7.4），比较两边系数，就可确定常数a0，a1，…an。

例2.求方程＋4＝3x2＋2的一个特解。

解自由项f（x）＝3x2＋2是一个二次多项式，又q＝0，p＝４≠0，故设特解

＝a0x3＋a1x2＋a2x

求导数＝3a0x2＋2a1x＋a2

＝6a0x＋2a1

代入方程得

12a0x2＋（8a1＋6a0）x＋（２a1＋4a2）＝3x2＋2，比较两边同次幂的系数

解得

所求方程的特解＝x3－x2＋x

（3）如果p＝0，q＝0，则方程变为＝pn（x），此时特解是一个（n＋2）次多项式，可设

＝x2Qn（x），代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。

下面讨论当α≠0时，即当f（x）＝pn（x）eαx时方程

＋p＋qy＝pn（x）eαx（7.5）

的一个特解的求法，方程（7.5）与方程（7.4）相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eαx，如果能通过变量代换将因子eαx去掉，使得（7.5）化成（7.4）式的形式，问题即可解决，为此设y＝ueαx，其中u＝u（x）是待定函数，对y＝ueαx，求导得

＝eαx＋αueαx

求二阶导数＝eαx＋2αeαx＋α2ueαx

代入方程（7.5）得

eαx［＋2α＋α2u］＋peαx［＋αu］＋queαx＝pn（x）eαx

消去eαx得

＋（2α＋p）＋（α2＋pα＋q）u＝pn（x）（7.6）

由于（7.6）式与（7.4）形式一致，于是按（7.4）的结论有：

（1）如果α2＋pα＋q≠0，即α不是特征方程r2＋pr＋q＝0的根，则可设（7.6）的特解u＝Ｑn（x），从而可设（7.5）的特解为

＝Qn（x）eαx

（2）如果α2＋pα＋q＝0，而２α＋p≠0，即α是特征方程r2＋pr＋q＝0的单根，则可设（7.6）的特解u＝xQn（x），从而可设（7.5）的特解为

＝xQn（x）eαx

（3）如果r2＋pα＋q＝0，且２α＋p＝0，此时α是特征方程r2＋pr＋q＝0的重根，则可设（7.6）的特解u＝x2Qn（x），从而可设（7.5）的特解为

＝x2Qn（x）eαx

例3.求下列方程具有什么样形式的特解

（1）＋5＋6y＝e3x

（2）＋5＋6y＝3xe－2x

（3）＋α＋y＝－（3x2＋1）e－x

解

（1）因α＝3不是特征方程r2＋5r＋6＝0的根，故方程具有形如

＝a0e3x的特解。

（2）因α＝－2是特征方程r2＋5r＋6＝0的单根，故方程具有形如

＝x（a0x＋a1）e－2x的特解。

（3）因α＝－1是特征方程r2＋2r＋1＝0的二重根，所以方程具有形如

＝x2（a0x2＋a1x＋a２）e－x的特解。

例4.求方程＋y＝（x－2）e3x的通解。

解特征方程r２＋1＝0

特征根r＝±

i得，对应的齐次方程＋y＝0的通解为

Y＝C1cosx＋C２sinx

由于α＝3不是特征方程的根，又pn（x）＝x－2为一次多项式，令原方程的特解为

＝（a0x＋a1）e3x

此时u＝a0x＋a1，α＝3，p＝0，q＝1，求u关于x的导数＝a0，＝0，代入

＋（２α＋p）＋（α2＋αp＋q）u＝（x－2）得：

10a0x＋10a1＋6a0＝x－2

比较两边x的同次幂的系数有

解得a0＝，a1＝－

于是，得到原方程的一个特解为

＝（x－）e3x

所以原方程的通解是

y＝Y＋＝C1cosx＋C2sinx＋（x－）e3x

例5.求方程－2－3y＝（x２＋1）e－x的通解。

解特征方程r2－2r－3＝0

特征根r1＝－1，r2＝3

所以原方程对应的齐次方程－2－3y＝0的通解Y＝C1e－x＋C2e3x,由于α＝－1是特征方程的单根，又pn（x）＝x2＋1为二次多项式，令原方程的特解

＝x（a0x2＋a1x＋a2）e－x

此时u＝a0x3＋a1x2＋a2x，α＝－1，p＝－2，q＝－3

对u关于x求导

＝3a0x2＋2a1x＋a2

＝6a0x＋2a1

代入＋（2α＋p）＋（α2＋pr＋q）u＝x2＋1，得

－12a0x2＋（6a0－8a）x＋2a1－4a２＝x2＋1比较