二阶常微分方程解课件Word文档格式.docx

1、或 erx（r2prq）0 因为erx0，故得 r2prq0 由此可见，若r是二次方程 r2prq0 （7.2） 的根，那么erx就是方程（7.1）的特解，于是方程（7.1）的求解问题，就转化为求代数方程（7.2）的根问题。称（7.2）式为微分方程（7.1）的特征方程。特征方程（7.2）是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r，r2，称为特征根，由代数知识，特征根r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。（1）若特证方程（7.2）有两个不相等的实根r，r2，此时erx，er2x是方程（7.1）的两个特解。因为 e常数 所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定

2、理知，方程（7.1）的通解为 yC1er1xC2er2x （2）若特征方程（7.2）有两个相等的实根r1r2，此时p24q0，即有r1r2，这样只能得到方程（7.1）的一个特解yerx，因此，我们还要设法找出另一个满足常数，的特解y2，故应是x的某个函数，设u，其中uu（x）为待定函数，即 y2uy1ue rx 对y2求一阶，二阶导数得 er1xruer1x（r1u）er1x （r2u2r1）er1x 将它们代入方程（7.1）得 （r21ur1）er1xp（r1u）er1xquer1x0 或 （2r1p）（rpr1q）uer1x0 因为er1x0，且因r1是特征方程的根，故有rprq0，又因r

3、1故有2r1p0，于是上式成为 0 显然满足0的函数很多，我们取其中最简单的一个 u（x）x则y2xerx是方程（7.1）的另一个特解，且y1，y2是两个线性无关的函数，所以方程（7.1）的通解是 yC1er1xC2xer1x（C1C2x）er1x （3）若特征方程（7.2）有一对共轭复根 r1i，r2i 此时方程（7.1）有两个特解 y1e（i）x y2e（i）x 则通解为 yC1e（i）xC2e（i）x 其中C1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式 eixcosxisinx，eixcosxisinx 有 （eixei

4、x）cosx （eixeix）sinx （y1y）ex（eixeix ）excosx （y1y2）ex（eixeix）exsinx 由上节定理一知， （y1y2）， （y1y2）是方程（7.1）的两个特解，也即excosx，exsinx是方程（7.1）的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程（7.1）的通解为 yC1excosxC2exsinx 或 yex（C1cosxC2sinx） 其中C1，C2为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中，分别是特征方程（7.2）复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程（7.1）的通解，只须先求出其特征方程（7.2）的根，再根据他

5、的三种情况确定其通解，现列表如下 特征方程r2prq0的根微分方程pqy0的通解有二个不相等的实根r1，r2yC1er1xC2er2x有二重根r1r2y（C1C2x）er1x有一对共轭复根yex（C1cosxC2sinx）例1. 求下列二阶常系数线性齐次方程的通解 （1）3y0 （2）44y0 （3）47y0 解 （1）特征方程r23r100有两个不相等的实根 r15，r22 所求方程的通解 yC1e 5r C2e 2x （2）特征方程r24r40，有两重根 r1r22 所求方程的通解y（C1C2x）e 2x （3）特征方程r24r70有一对共轭复根 r12i r22i 所求方程的通解 ye2

6、x（C1cosxC2sinx） 7.2 二阶常系数线性非齐次方程的解法 由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程 pqyf（x） （7.3） 的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程（7.3）的一个特解。方程（7.3）的特解形式，与方程右边的f（x）有关，这里只就f（x）的两种常见的形式进行讨论。一、f（x）pn（x）ex ，其中pn（x）是n次多项式，我们先讨论当0时，即当 f（x）pn（x）时方程 pqypn（x） （7.4） 的一个特解。（1）

7、如果q0，我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解 Qn（x）a0xna1xn1an ，其中a0，a1，an是待定常数，将及其导数代入方程（7.4），得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幂系数，就可确定常数a0，a1，an。例1. 求2yx23的一个特解。解 自由项f（x）x23是一个二次多项式，又q20，则可设方程的特解为 a0x2a1xa2 求导数 2a0xa1 2a0 代入方程有2a0x2（2a02a1）x（2a0a12a）x23比较同次幂系数 解得 所以特解x2x（2）如果q0，而p0，由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时Qn（x）不能满足方程，但它可以被

8、一个（n1）次多项式所满足，此时我们可设 xQn（x）a0xn1a1xnanx 代入方程（7.4），比较两边系数，就可确定常数a0，a1，an。例2. 求方程43x22的一个特解。解 自由项 f（x）3x22是一个二次多项式，又q0，p0，故设特解 a0x3a1x2a2x 求导数 3a0x22a1xa2 6a0x2a1 代入方程得 12a0x2（8a16a0）x（a14a2）3x22，比较两边同次幂的系数 解得 所求方程的特解 x3x2x （3）如果p0，q0，则方程变为pn（x），此时特解是一个（n2）次多项式，可设 x2Qn（x），代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当0时，即

9、当f（x）pn（x）ex时方程 pqypn（x）ex （7.5） 的一个特解的求法，方程（7.5）与方程（7.4）相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子ex，如果能通过变量代换将因子ex去掉，使得（7.5）化成（7.4）式的形式，问题即可解决，为此设yuex，其中uu（x）是待定函数，对yuex，求导得 exuex 求二阶导数 ex2ex2uex 代入方程（7.5）得 ex22upexuquexpn（x）ex 消去ex得 （2p）（2pq）upn（x） （7.6） 由于（7.6）式与（7.4）形式一致，于是按（7.4）的结论有：（1）如果2pq0，即不是特征方程r2prq0的根，则可设（7.

10、6）的特解un（x），从而可设（7.5）的特解为 Qn（x）ex （2）如果2pq0，而p0，即是特征方程r2prq0的单根，则可设（7.6）的特解uxQn（x），从而可设（7.5）的特解为 xQn（x）e x （3）如果r2pq0，且p0，此时是特征方程r2prq0的重根，则可设（7.6）的特解ux2Qn（x），从而可设（7.5）的特解为 x2Qn（x）e x 例3. 求下列方程具有什么样形式的特解 （1）56ye 3x （2）56y3xe 2x （3）y（3x21）e x 解 （1）因3不是特征方程r25r60的根，故方程具有形如a0e 3x 的特解。 （2）因2是特征方程r25r60的单

11、根，故方程具有形如 x（a0xa1）e 2x 的特解。 （3）因1是特征方程r22r10的二重根，所以方程具有形如 x2（a0x2a1xa）e x 的特解。例4. 求方程y（x2）e3x 的通解。解 特征方程 r10 特征根 ri得，对应的齐次方程y0的通解为 YC1 cos xC sin x 由于3不是特征方程的根，又pn（x）x2为一次多项式，令原方程的特解为 （a0xa1）e 3x 此时ua0xa1，3，p0，q1，求u关于x的导数a0，0，代入 （p）（2pq）u（x2）得： 10a0x10a16a0x2 比较两边x的同次幂的系数有 解得 a0，a1 于是，得到原方程的一个特解为 （x）e3x 所以原方程的通解是 yYC1cosxC2sinx（x）e3x 例5. 求方程23y（x1）ex的通解。解 特征方程 r22r30 特征根 r11，r23 所以原方程对应的齐次方程23y0的通解YC1exC2e3x,由于1是特征方程的单根，又pn（x）x21为二次多项式，令原方程的特解 x（a0x2a1xa2）ex 此时 ua0x3a1x2a2x，1，p2，q3 对u关于x求导 3a0x22a1xa2 6a0x2a1 代入（2p）（2prq）ux21，得 12a0x2（6a08a）x2a14ax21比较