高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业56 理 新人教A版Word文档下载推荐.docx

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cos120°

＝－.

A

3．（xx·

安徽卷）过点P（－，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A．（0，]B．（0，]

C．[0，]D．[0，]

设斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝k（x＋），即kx－y＋k－1＝0，由题可得≤1，解得0≤k≤.设倾斜角为α，则0≤tanα≤，得0≤α≤.

D

4．若直线x－y＋2＝0与圆C：

（x－3）2＋（y－3）2＝4相交于A，B两点，则·

的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．6

由题意可知，圆心C（3,3）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离为d＝＝.又因为sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°

，又因为CA＝CB，所以∠BCA＝90°

.故·

＝0.

5．若圆（x－a）2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的周长，则a，b满足的关系是（　　）

A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0

C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0

两圆的公共弦必过（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2（a＋1）x－2（b＋1）y＋a2＋1＝0，将圆心坐标（－1，－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.

C

6．已知直线x＋y－k＝0（k>

0）与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是（　　）

A．（，＋∞）B．[，＋∞）

C．[，2）D．[，2）

当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°

，从而圆心O到直线x＋y－k＝0（k>

0）的距离为1，此时k＝；

当k>

时|＋|>

||，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<

2，综上，k的取值范围为[，2），故选C.

二、填空题

7．（xx·

重庆卷）已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．

圆C的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9，则圆心C（－1,2），半径r＝3.由题可得AB＝3，则圆心到直线的距离d＝，所以＝，解得a＝0或6.

0或6

8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a>

0）的公共弦长为2，则a＝________.

方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件＝，即a＝1.

1

9．两圆相交于两点（1,3）和（m，－1），两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.

根据两圆相交的性质可知，两点（1,3）和（m，－1）的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有

∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.

3

三、解答题

10．已知点P（0,5）及圆C：

x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

解：

（1）如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为（x＋2）2＋（y－6）2＝16，

∴圆C的圆心坐标为（－2,6），半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，

∴|AD|＝2，|AC|＝4.

C点坐标为（－2,6）．

在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.

设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即

kx－y＋5＝0.

由点C到直线AB的距离公式：

＝2，

得k＝.

故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.

∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x，y），

即CD⊥PD，即·

＝0，

∴（x＋2，y－6）·

（x，y－5）＝0，

化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3），直线l：

2x－y－4＝0，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．

（1）若圆心C也在直线2x－3y＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．

（2）若圆C与圆D：

x2＋y2＋2y－3＝0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．

（1）由得圆心C（3,2），

又因为圆的半径为1，

所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝1，

设过点A的切线方程为y＝kx＋3，

圆心到直线的距离为＝1，

解得k＝0或k＝－.

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

（2）因为圆心在直线2x－y－4＝0上，

设圆C的方程为（x－a）2＋[y－2（a－2）]2＝1，

圆D：

x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋（y＋1）2＝4，

因为圆C与圆D有公共点，

则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3，

所以5a2－12a≤0，得0≤a≤.

1．动圆C经过点F（1,0），并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2＋1总有公共点，则圆C的面积（　　）

A．有最大值8πB．有最小值2π

C．有最小值3πD．有最小值4π

设圆心为C（a，b），半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即（a－1）2＋b2＝（a＋1）2，即a＝b2，∴圆心为，r＝b2＋1，圆心到直线y＝x＋2＋1的距离为d＝≤＋1，∴b≤－2（2＋3）或b≥2，当b＝2时，rmin＝×

4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.

2．（xx·

江西卷）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A.B.

C．（6－2）πD.

∵∠AOB＝90°

，∴点O在圆C上．

设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，

∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，

∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.

又|OD|＝＝，

∴圆C的最小半径为，

∴圆C面积的最小值为π2＝π.

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3,0）在圆C：

x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．

由题意得圆心C（m,2），半径r＝4.因为点P（3,0）在圆C：

x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，所以32＋0－6m－0＋m2－28<

0，解得3－2<

m<

3＋2.设C到直线的距离为d，则d≤|CP|.又S△ABC＝d·

|AB|＝d·

2≤＝＝16，当且仅当d2＝r2－d2，即d2＝16，d＝4时取等号，因此|CP|≥4，≥4，即m≥3＋2或m≤3－2.

综上，实数m的取值范围为[3＋2，3＋2）∪（3－2，3－2]．

[3＋2，3＋2）∪（3－2，3－2]

4．已知圆心为C的圆，满足下列条件：

圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13.

（1）求圆C的标准方程；

（2）设过点M（0,3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？

如果存在，求出l的方程；

如果不存在，请说明理由．

（1）设圆C：

（x－a）2＋y2＝R2（a>

0），由题意知

，解得a＝1或a＝，

又∵S＝πR2<

13，∴a＝1，

∴圆的方程为（x－1）2＋y2＝4.

（2）当斜率不存在时，直线l为：

x＝0，不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：

y＝kx＋3，A（x1，y1），B（x2，y2），

又∵l与圆C相交于不同的两点，

联立，消去y得：

（1＋k2）x2＋（6k－2）x＋6＝0，

∴Δ＝（6k－2）2－24（1＋k2）＝12k2－24k－20>

0，

解得k<

1－或k>

1＋.

x1＋x2＝－，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋6＝，

＝＋＝（x1＋x2，y1＋y2），＝（1，－3），

假设∥，则－3（x1＋x2）＝y1＋y2，

∴3×

＝，

解得k＝∉（－∞，1－）∪（1＋，＋∞），假设不成立，

∴不存在这样的直线l.

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业57理新人教A版

1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）

A．2B．6

C．4D．12

由椭圆的定义知：

|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a（F是椭圆的另外一个焦点），∴周长为4a＝4.

2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（　　）

A．4B．5

C．7D．8

将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>

10－m，即m>

6，且（）2－（）2＝22，解得m＝8.

3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为（　　）

A．－21B．21

C．－或21D.或21

若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，

由＝，即＝，解得k＝－；

由a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，

由＝，即＝，解得k＝21.

4．已知椭圆：

＋＝1（0<

b<

2），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是（　　）

A．1B.

C.D.

由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.

5．设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°

，则椭圆的离心率为（　　）

设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°

.

由于∠PF1F2＝30°

，所以PF1＝2PF2，

由勾股定理得F1F2＝＝PF2，

由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a＝，2c＝F1F2＝PF2⇒c＝，

所以椭圆的离心率为e＝＝·

＝.

6．已知F1（－c,0），F2（c,0）为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·

＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

设P（m，n），·

＝（－c－m